第八节 双曲线(二)基础自测1．已知 m>0，直线 y＝x 是双曲线－＝1 的渐近线，则 m 等于( )A. B. C. D.解析：双曲线－＝1 的渐近线为－＝0，即 y＝±x，又 m>0，故直线 y＝x 就是直线 y＝x，得＝，所以 m＝.答案：A2．设 F1和 F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若 F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A. B．2 C. D．3解析：由 tan＝＝有 3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则 e＝＝2.故选 B.答案：B3．中心在原点，经过点(3,0)，离心率为的双曲线的标准方程为__________．解析：依题意，双曲线实轴在 x 轴上，且 a＝3，设其方程为－＝1(b＞0)，则＝，得 b2＝16，故双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝14．(2013·梅州一模)已知双曲线－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________________．解析：因为 a＞b＞0，所以渐近线 y＝x 的斜率小于 1，因为两条渐近线的夹角为，所以，渐近线的倾斜角为，即＝tan ＝，又∵c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋a2，所以＝，所以 e＝.答案：1．(2013·广东卷)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于，则双曲线 C 的方程是 ( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1解析：依题意 c＝3，e＝，所以 a＝2，从而 a2＝ 4，b2＝c2－a2＝5，故选 B.答案：B2．(2013·湖北卷)已知 0<θ<，则双曲线 C1： －＝1 与 C2：－＝1 的( )A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等解析：双曲线 C1的离心率是 e1＝，双曲线 C2的离心率是 e2＝＝，故选 D.答案：D1．(2013·山东淄博上学期期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. B. C．2 D．2解析：抛物线的焦点坐标为(，0)，双曲线的右焦点为(c,0)，则 c＝，渐近线为 y＝±x，因为一条渐近线的斜率为，所以＝，即 b＝a，所以 b2＝2a2＝c2－a2，即 c2＝3a2，即 e2＝3，e＝，故选 B.1答案：B2．F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点 F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 M，满足|MF1|＝3|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为________．解析：设该双曲线的渐近线方程为 y＝ x，则 MF2的斜率为－，所以 MF2的方程为 y＝－(x－c)．所以可求得交点 M.所以|MF2| ＝b，则|MF1|＝3b.在△MF1O 中，|OM|＝a，|OF1|＝c，cos ∠F1OM＝－cos∠F2OM＝－.在△F1OM 中，由余弦定理可知＝－.又 c2＝a2＋b2，可得 a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为 y＝±x.答案：y＝±x2
