【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第四节数列通项的求法 理

第四节 数列通项的求法知识梳理 数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前 n 项和等．因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点．在近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大．为了帮助考生突破这一难点，现将求数列通项的思想方法归纳如下：①化归与转化思想；②换元思想；③方程思想．基础自测1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋lg，则 a10＝( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lg＋lg＋…＋lg＋1＝lg＋1＝2.故选 B.答案：B2．若数列{an}满足 an＋1＝ 若 a1＝，则 a2 013的值为( )A. B. C. D.解析： ≤a1＝< 1，∴a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝. a3＝<，∴a4＝2a3＝＝a1，a5＝a2，….∴数列{an}每隔 3 项重复出现，即是以 3 为周期的周期数列．∴a2 013＝a671×3＝a3＝.故选C.答案：C3．(2013·江苏南京四校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋n－1，则 a1＋a3＝________.解析：a1＝S1＝21＋1－1＝2，a3＝S3－S2＝8＋3－1－(4＋2－1)＝5，∴a1＋a3＝7.答案：74．已知数列{an}中，满足 a1＝6，an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______ __．解析： an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2(常数)，∴{an＋1}是以 7 为首项，2 为公比的等比数列，∴an＋1＝7·2n－1，∴an＝7·2n－1－1.答案： an＝7·2n－1－1(n∈N*)1高考是以知识为载体，以方法为依托，以能力为目标来进行考查的，对通项公式的要求远不止停留在只求等差数列、等比数列的通项公式，有很多考题都是通过诸如构造法、累加法、累乘法以及利用 Sn 与 an 的关系和数列的递推公式把要求的数列转化为等差数列或等比数列来求的．1．设各项均为正数的数列的前 n 项和为 Sn，已知 2a2＝a1＋a3，数列是公差为 d 的等差数列．求数列的通项公式(用 n，d 表示)．解析：由题意知 d>0，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，2a2＝a1＋a3⇒3(S2－S1)＝S3，即 3[(＋d)2－a1]＝(＋2d)2，化简，得 a1－2·d＋d2＝0⇒＝d⇒a1＝d2，∴＝d＋(n－1)d＝nd，∴Sn＝n2d2.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝(2n－1)d2，适合 n＝1 情形．故所求 an＝(2n－1)d2.2．(2013·广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知...