例析求函数值域的方法求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。注意：求值域要先求定义域。虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例 1：求函数的值域。解： ，∴，∴函数的值域为。二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。例 2：求函数（）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。例 3：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为（定义域优先原则），对函数进行变形可得， ，（特殊情况优先原则）∴（，），∴，∴，∴函数的值域为例 4：求 y= （1≤X≤3）的值域。解：y＝ Þ x＝ 1≤X≤3 ∴1≤≤3 （怎么求解？）Þ y∈[,]四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。第 1 页 共 8 页例 5：求函数的值域。解：（此处要先求定义域） ， ，∴，∴函数的值域为。五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。例 6：求函数的值域。解：(求值域先求定义域)令（）（引入新元要标注范围），则，∴（）（你看：没有标注范围的话这里就会出错）（再利用数形结合法） 当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。例 7：求 y＝2x－3＋的值域解：(求值域先求定义域)令 t＝，则 t≥0（引入新元要标注范围），且 2x＝(13－t2)y＝－t2＋t＋＝t－(t－1)2＋4≤4（t≥0）（这里最好利用数形结合法）y∈（－∞，4例 8 求函数的值域。解：函数的定义域为(求值域先求定义域)，令，那么（引入新元要标第 2 页 共 8 页注范围），（t≥0）（这里最好利用数形结合法）当即也即时，函数有最大值；函数无最小值。函数的值域为。点评：对于形如（、 、 、 为常数，）的函数，我们可以利用换元法求其值域，同时还利用了图像法。特别注意：引入新的变量时要标注其范围。例 9 求函数的值域 分析：该题比较难处理的是根号，如果将根号看作是一个整体 ，那么， 则原函数就可以写成一个二次函数的形式，用配方法就可以求出其值域。 解：(求值域先求定义域)令，则 （） 于是原函数变为 （再利用数形结合法） ， 即值域为。 [评注] 形如 的函数均可用此法（换元、图像）求值域。六、判别式法：...
