课时分层作业二十九数系的扩充与复数的引入一、选择题(每小题5分,共35分)1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.-1【解析】选B.因为复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,所以解得a=2.2.设z1,z2∈C,则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈R,则z1-z2=-=+i,若z1-z2是虚数,则b1-b2≠0,所以b1,b2不能都为零,即“z1,z2中至少有一个数是虚数”;若“z1,z2中至少有一个数是虚数”,则b1,b2至少有一个不为零,但是有可能b1-b2=0,比如1+i,2+i都是虚数,但是它们的差为实数,所以“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的必要不充分条件.3.(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【解析】选C.由(1+i)2=2i为纯虚数知选C.4.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选C.因为m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,所以m2+m-2=0,m2-1≠0,所以m=-2.5.已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】选C.由已知可得zi=4,所以z==-4i.6.若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选C.因为z=1+2i,所以=1-2i,所以z·=(1+2i)(1-2i)=5,所以==i.7.若i是虚数单位,则复数z=在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意得,z===1+i,则复数在复平面内的点在第一象限.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知0
0,a2-1=0,解得a=-1.【一题多解】选D.因为(a+i)2i为正实数,所以(a+i)2是纯虚数,且虚部为负数,所以a=-1.4.(3分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.∅【解析】选C.由已知得A={i,-1,-i,1},故A∩B={1,-1}.5.(3分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】选D.因为a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以==3+4i.6.(3分)(2018·西安模拟)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于()A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i【解析】选A.由已知得b2+b(4+i)+4+ai=0,即b2+4b+4+(a+b)i=0,所以解得a=2,b=-2,所以z=2-2i.7.(3分)已知复数z=sin2+icos2,则在复平面内复数z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为z2==sin22-cos22+i=+i,cos4<0,sin4<0,所以z2对应的点位于第四象限.8.(3分)已知复数z1=2+ai,z2=2-i,其中i为虚数单位,若|z1|<|z2|,则实数a的取值范围为________.【解析】由题意可得,<,即-1
