高考数学 考点突破——直线与圆：圆的方程学案-人教版高三全册数学学案

圆的方程【考点梳理】1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r ＞ 0) 圆心( a ， b ) ，半径 r一般方程x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ，(D2＋E2－4F＞0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若 M(x0，y0)在圆外，则( x 0－ a ) 2 ＋ ( y 0－ b ) 2 ＞ r 2 .(2)若 M(x0，y0)在圆上，则( x 0－ a ) 2 ＋ ( y 0－ b ) 2 ＝ r 2 . (3)若 M(x0，y0)在圆内，则( x 0－ a ) 2 ＋ ( y 0－ b ) 2 ＜ r 2 .【考点突破】考点一、求圆的方程【例 1】(1)过点 A(4，1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2，1)，则圆 C 的方程为________.(2)已知圆 C 经过 P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为________.[答案] (1) (x－3)2＋y2＝2 (2) x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0[解析] (1)法一 由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3.①过 B 点且垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0，②联立①②，解得所以圆心坐标为(3，0)，半径 r＝＝，所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 点 A(4，1)，B(2，1)在圆上，故又 ＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将 P，Q 两点的坐标分别代入得又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③设 x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得 D2－4F＝36，④联立①②④，解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，或 D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.【类题通法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【对点训练】1．经过点 A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0 上的圆的方程为________．[答案] x2＋y2－4x...