高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题05 导数的热点问题教学案 理（含解析）-人教版高三全册数学教学案

导数的热点问题【2019 年高考考纲解读】导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例 1、已知函数 f(x)＝ae2x－aex－xex(a≥0，e＝2.718…，e 为自然对数的底数)，若 f(x)≥0 对于 x∈R 恒成立．(1)求实数 a 的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点 x0，且＋≤f(x0)<.(2)证明 当 a＝1 时，f(x)＝e2x－ex－xex，f′(x)＝ex(2ex－x－2)．令 h(x)＝2ex－x－2，则 h′(x)＝2ex－1，∴当 x∈(－∞，－ln 2)时，h′(x)<0，h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数；当 x∈(－ln 2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(－ln 2，＋∞)上为增函数， h(－1)<0，h(－2)>0，∴在(－2，－1)上存在 x＝x0满足 h(x0)＝0， h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数，∴当 x∈(－∞，x0)时，h(x)>0，即 f′(x)>0，f(x)在(－∞，x0)上为增函数，当 x∈(x0，－ln 2)时，h(x)<0，即 f′(x)<0，f(x)在(x0，－ln 2)上为减函数，当 x∈(－ln 2,0)时，h(x)h(0)＝0，即 f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点 0，综上可知，f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 x0∈(－2，－1)． h(x0)＝0，∴2－x0－2＝0，∴f(x0)＝－－x0＝2－(x0＋1)＝－，x0∈(－2，－1)， 当 x∈(－2，－1)时，－<，∴f(x0)<； ln∈(－2，－1)，∴f(x0)≥f ＝＋；综上知＋≤f(x0)<.【方法技巧】用导数证明不等式的方法(1) 利 用 单 调 性 ： 若 f(x) 在 [a ， b] 上 是 增 函 数 ， 则 ① ∀ x∈[a ， b] ， 则 f(a)≤f(x)≤f(b) ； ② 对∀x1，x2∈[a，b]，且 x1