突破点 15 函数与方程[核心知识提炼]提炼 1 函数 y＝f(x)零点个数的判断(1)代数法：求方程 f ( x ) ＝ 0 的实数根．(2)几何法：对于不能求解的方程，可以将它与函数 y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点 .提炼 2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．[高考真题回访]回访 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则 a＝( )A．－ B．C. D．1C [法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令 t＝x－1，则 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数 g(t)为偶函数． f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得 a＝.故选 C.法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当 x＝1 时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当 x＝1 时取“＝”．若 a＞0，则 a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝.若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一．故选 C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0>0，则 a 的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)A [f′(x)＝3ax2－6x，当 a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意 f(0)＝1，f＝>0，则 f(x)的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除 B、C.当 a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f＝－，则 f(x)的大致图象如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除 D.]热点题型 1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断...
