第二课时 最值与范围问题考向一 圆锥曲线中的最值问题【典例】 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 y2＝4x 上相异两点，且满足 x1＋x2＝2．(1)若 AB 的中垂线经过点 P(0,2)，求直线 AB 的方程；(2)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M，求△AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程．[思路分析]总体设计看到：求直线方程和最值问题．想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最值问题．解题指导(1)设出直线 AB 的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解 AB 的斜率；(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值，解得直线斜率，从而求出直线方程.[规范解答] (1)当 AB 垂直于 x 轴时，显然不符合题意；所以可设直线 AB 的方程为 y＝kx＋b，1 分代入方程 y2＝4x 得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，∴x1＋x2＝＝2，得 b＝－k，∴直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)＋，3 分 AB 中点的横坐标为 1，∴AB 中点的坐标为，∴AB 的中垂线方程为y＝－(x－1)＋＝－x＋，4分 AB 的中垂线经过点 P(0,2)，故＝2，得 k＝，∴直线 AB 的方程为 y＝x－.5 分(2)由(1)可知 AB 的中垂线方程为 y＝－x＋，∴M 点的坐标为(3,0)，6 分 直线 AB 的方程为 k2x－ky＋2－k2＝0，∴M 到直线 AB 的距离 d＝＝，7 分由得 y2－ky＋2－k2＝0，∴y1＋y2＝，y1·y2＝，8 分|AB|＝|y1－y2|＝，9 分∴S△MAB＝4 ，设 ＝t，则 0
