高考数学复习 专题15 解析几何 双曲线的定义及标准方程备考策略-人教版高三全册数学素材

双曲线的定义及标准方程备考策略主标题：双曲线的定义及标准方程备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.关键词：双曲线的定义及标准方程，知识总结备考策略难度：4重要程度：5考点剖析：考查双曲线的定义及标准方程.内容：1.在平面内到两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫做双曲线．定点 F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．[提醒] 令平面内一点到两定点 F1，F2的距离的差的绝 对值为 2a(a 为常数)，则只有当 2a<|F1F2|且 2a≠0 时，点的轨迹才是双曲线；若 2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．标准方程中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．[提醒] 在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是 x2或 y2的系数．思维规律解题：考点一 双曲线的定义例 1.(2012·大纲全国卷)已知 F1、F2为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )A. B. C. D.答案 C 解答 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理 cos∠F1PF2＝＝，选 C.考点二：双曲线的标准方程例 2 已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．解析 设动圆 M 的半径为 r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2，又 C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．又 a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点 M 的轨迹方程是－＝1(x≥)．备考策略：求双曲线的标准方程关注点：1 确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件， “定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法.2 利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论.① 若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋By2＝1AB＜0.,②若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为 m2x2－n2y2＝λλ≠0.