数学归纳法练习题

数学归纳法练习题1. 用数学归纳法证明：（1） 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N*)。（2） 1+3+9+…+3(n∈N*)2.用数学归纳法证明下述不等式：3.试比较 2 与(n＋1) 的大小(n∈N*)，并用证明你的结论。4. （1）用数学归纳法证明：能被 6 整除.（2）求证 n(n∈N*)能被 9 整除.5. 数列{an}满足 Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算 a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式 an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．6. 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式 bn;(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+)(其中 a＞0 且 a≠1)，记 Sn是数列{an}的前 n 项和，试比较 Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.参考答案1（1）、证明(1)当 n=1 时,左边=1×4=4,右边= 1×(1＋1) =4, 左边=右边，命题成立. (2)假设当时,命题成立,即: 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1),则当 n=k+1 时, 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)+(k+1)(3k+4)＝k(k＋1) +(k+1)(3k+4)＝(k+1)(k +4k+4)=(k+1)(k+2) ,即 n=k+1 命题成立.根据（1）（2）可知等式对任意的 n∈N*成立.（2）、证明(1)当 n=1 时,左边=1,右边=(31-1)=1, 左边=右边，命题成立. (2)假设当时,命题成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),则当 n=k+1 时,1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即 n=k+1 命题成立.根据（1）（2）可知等式对任意的 n∈N*成立.2.证明:（1）当 n=2 时，左边=右边，∴当 n=2 时，不等式正确；. 假设当不等式正确，即，则 当时，左边，∴当时不等式也正确；根据知对任意的，且，不等式都正确.3.解：当时，；；；；，所以，；。下面用数学归纳法证明成立。（1）当，由前可知猜想成立；（2）假设当,则当由上可知成立。4.证明：.1.当时，13+5×1=6 能被 6 整除，命题正确；. 假设当时命题正确，即能被 6 整除，∴当时，， 两个连续的整数的乘积是偶数，能被 6 整除，能被 6 整除，即当时命题也正确，由知命题时都正确.（2）.证明(1)当 n=1 时,13+(1+1)3+(1+2)3=36 能被 9 整除. (2)假设 n=k 时命题成立，即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除,则当 k=n+1 时，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27= k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被 9 整除 由(1),(2)可知原命题成立.5. 解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想 an＝(n∈N*)．(2)证明：当 n＝1 时，a1＝1，猜想成立．假设...