二次函数（2） [探究五] 二次函数综合应用题例 7. 已知二次函数和函数，（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数.解：（1） 为偶函数, ∴,，即,∴. ∴. 的定义域为,且 , ∴函数为奇函数.（2）由,得 ，由△，且, 得,即∴ 函数在上是单调函数.练习 1.已知二次函数的图像过点，且得解集为．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在上的最值．解：由已知设二次函数，其中．将点带入，解得．∴．（1），要使在区间上单调递增，只须，解得；（2）由，得． ，∴．∴．∴函数在上的最大值为 0，最小值为．例 8 设为实数,记函数的最大值为,求.解: (1) 若,则, ∴.(2) 若,则,① 当时，由知在上单调递增，∴；② 当时， 若，即，则，若，即，则，若，即，则.综上所述：=.思考： 设为实数，记函数的最大值为，求.分析: 令，则， ∴ . 函数的定义域为, ∴.∴，.由题意知即为函数，的最大值，化归为例 2 求解.或由函数的定义域为，可令，，则，又令，则，∴，练习 1. 设为实数，函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）求的最小值．解：（1）若，则（2）当时， 当时， 综上例 9.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1 处取得最小值 m－1(m).设函数(1)若曲线上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为,求 m 的值；(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解：（1）设，则； 又的图像与直线平行，．即． 又在取最小值，∴ ，即．，；∴ ． 设，则． ∴ ，解得或； （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，① 若，， 函数有两个零点；② 若，，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点练习 1.已知关于的二次方程．（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围；（2）若方程两根均在区间内，求实数的取值范围．解:设二次方程所对应的函数为．（1）要使方程的两根一根在区间内，另一根在区间内，由根的分布知识得解得；（2）要使方程两根均在区间内，由根的分布知识得解得即．备用．己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；证明：（1）依题意，对任意，都有（2）充分性：必要性：对任意．三、方法提升：1、关于二次方程根的分布问题，主要采用连续函数零点存在性定理，并结合函数的单调性来解决问题，这与后面利用导数来解决根的个数问题方法一...
