二次函数（2） [探究五] 二次函数综合应用题例 7
已知二次函数和函数，（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数
解：（1） 为偶函数, ∴,，即,∴
的定义域为,且 , ∴函数为奇函数
（2）由,得 ，由△，且, 得,即∴ 函数在上是单调函数
已知二次函数的图像过点，且得解集为．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在上的最值．解：由已知设二次函数，其中．将点带入，解得．∴．（1），要使在区间上单调递增，只须，解得；（2）由，得． ，∴．∴．∴函数在上的最大值为 0，最小值为．例 8 设为实数,记函数的最大值为,求
解: (1) 若,则, ∴
(2) 若,则,① 当时，由知在上单调递增，∴；② 当时， 若，即，则，若，即，则，若，即，则
综上所述：=
思考： 设为实数，记函数的最大值为，求
分析: 令，则， ∴
函数的定义域为, ∴
由题意知即为函数，的最大值，化归为例 2 求解
或由函数的定义域为，可令，，则，又令，则，∴，练习 1
设为实数，函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）求的最小值．解：（1）若，则（2）当时， 当时， 综上例 9
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1 处取得最小值 m－1(m)
设函数(1)若曲线上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为,求 m 的值；(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点
解：（1）设，则； 又的图像与直线平行，．即． 又在取最小值，∴ ，即．，；∴ ． 设，则． ∴ ，解得或； （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，① 若，， 函数有两个零点；② 若，，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点练习 1
已知关于的二次方程．（1）若方程有两根，其中一根在区间
