第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位解析因为y＝sin3x＋cos3x＝cos，要得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位，故选C.答案C2.(2015·广州期末)若函数f(x)＝sinax＋cosax(a＞0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()A.－B.C.D.(0，0)解析f(x)＝2sin， T＝＝2，∴a＝π.∴f(x)＝2sin，∴当x＝时，f(x)＝0.故选B.答案B3.(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x＝B.x＝C.x＝D.x＝解析由f(x)dx＝0，得sin(x－φ)dx＝0，即－cos(x－φ)|＝0，∴－cos＋cosφ＝0，∴cosφ－sinφ＝0，∴cos＝0，∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋，∴f(x)＝sin，由x－kπ－＝k′π＋得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，故选A.答案A4.(2015·唐山期末)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上递减，则ω＝()A.3B.2C.6D.5解析 f(x)＝2sin，f＋f＝0.∴当x＝＝时，f(x)＝0.∴ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A、C；又f(x)在上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.答案B5.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin(2x＋).于是f(0)＝A，f(2)＝Asin(4＋)，f(－2)＝Asin＝Asin，又 －<－4<4－<<，其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.又f(x)在单调递增，∴f(2)0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________.解析由f(x)在上具有单调性，得≥－，即T≥；因为f＝f，所以f(x)的一条对称轴为x＝＝；又因为f＝－f，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.答案π三、解答题9.(2015·北京卷)已知函数f(x)＝sincos－sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值.解(1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.10.(2015·咸阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈时，h(x)有最小值为3，求a的值.解(1)由题意，得·π＝2π2.所以ω＝1.又A＝2g＝2tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin＝3，即sin＝－.因为x∈，所以2x＋∈，所以2a＋＝－，即a＝－.11.(2015·福建卷)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来...
