解答题滚动练21.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁年龄超过40岁合计(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：K2＝.P(K2≥k0)0.150.100.050.01k02.0722.7063.8416.635解(1)由题意可得列联表如下：网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁204565年龄超过40岁53035合计2575100假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则K2＝≈3.297＞2.706.所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关.(2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为ξ012P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.2.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.(1)证明以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，N(1，0，2)，M(2，1，2)，则BC1＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)，NM＝(1，1，0)，NP＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，因为BC1＝(－2，0，2)，所以BC1＝2FP，即BC1∥FP，又FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得于是可取n＝(λ，－λ，1).设平面MNPQ的一个法向量为m＝(x′，y′，z′)，由得于是可取m＝(λ－2，2－λ，1).若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±，显然满足0＜λ＜2.故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.3.已知数列{an}中，a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2).(1)求λ的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n·(an＋n)，且数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n.解(1)∵a1＝1，an＝an－1＋λn－1，∴a2＝2λ，a3＝5λ－1，由a3＝5λ－1＝9，得λ＝2，于是an＝an－1＋2n－1，即an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，an－2－an－3＝2n－5，…，a2－a1＝3，n＞3.以上各式累加得an＝1＋＝n2，n＞3.经验证知，a1，a2，a3也满足an＝n2，故an＝n2(n∈N*).(2)由(1)得bn＝(－1)n·(an＋n)＝(－1)n·n(n＋1)，故S2n＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n－1)·2n＋2n·(2n＋1)＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n(－2n＋1＋2n＋1)＝2(2＋4＋6＋…＋2n)＝2·＝2n2＋2n.4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F1(－，0)，M(1，y)(y＞0)为椭圆上的一点，△MOF1的面积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点T在圆x2＋y2＝1上，是否存在过点A(2，0)的直线l交椭圆C于点B，使OT＝(OA＋OB)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)由椭圆的一个焦点为F1(－，0)知c＝，即a2－b2＝3.①又因为△MOF1的面积为，即××y＝，求得y＝，则M，代入椭圆方程，得＋＝1.②由①②解得a2＝4，b2＝1.故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)假设存在过点A(2，0)的直线l符合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为y＝k(x－2)，由得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.(*)解得xB＝，所以yB＝－，即B.所以OA＋OB＝，即OT＝.因为点T在圆x2＋y2＝1上，所以＝1，化简得176k4－24k2－5＝0，解得k2＝，所以k＝±.经检验知，此时(*)对应的判别式Δ＞0，满足题意.故存在满足条件的直线l，其方程为y＝±(x－2).
