解答题滚动练41.(2017·佳木斯一中期中)已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x.(1)求函数f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)＝，a＝1，求△ABC周长的最大值.解(1)f(x)＝sin2x＋×(1＋cos2x)＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，由2x＋＝2kπ＋，得x＝kπ＋，k∈Z，当x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)有最大值，即f(x)取最大值时x的集合为.(2)f(A)＝sin＋＝，sin＝， A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，A＝，∴12＝a2＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥，∴b＋c≤2，a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为3.2.已知数列{an}满足：a1＝－，an＋1＝(n∈N*).(1)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝(an＋1)(n∈N*)，若对一切n∈N*，都有(1－b1)(1－b2)…(1－bn)≤成立，求实数λ的最小值.解(1)因为an＋1＋1＝＋1＝，因为＝＝3＋，所以－＝3，所以是首项为3，公差为3的等差数列，所以＝3n，∴an＝－1.(2)由(1)知bn＝，设f(n)＝·(n≥1，n∈N*)，由＝＜1，得λ≥，即λ的最小值为.3.几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即甲公司与乙公司，“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”，这两家公司对“快递员”的日工资结算方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲公司的“快递员”日工资为X(单位：元)，求X的分布列和期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由.解(1)由题意，当0≤n≤83时，y＝120元，当n＞83时，y＝120＋(n－83)×10＝10n－710，∴乙公司的快递员日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系为y＝(2)X的所有可能取值为152，154，156，158，160.①由题意，P(X＝152)＝0.1，P(X＝154)＝0.1，P(X＝156)＝0.2，P(X＝158)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，∴X的分布列为X152154156158160P0.10.10.20.30.3∴期望E(X)＝152×0.1＋154×0.1＋156×0.2＋158×0.3＋160×0.3＝157.2.②设乙公司的日工资为Y，则E(Y)＝120×0.1＋130×0.2＋150×0.1＋170×0.4＋190×0.2＝159.由于甲公司的日工资的期望(均值)没有乙公司的日工资的期望(均值)高，∴小王应当到乙公司应聘“快递员”的工作.4.已知函数f(x)＝x2＋acosx，g(x)是f(x)的导函数.(1)若f(x)在处的切线方程为y＝x－，求a的值；(2)若a≥0且f(x)在x＝0时取得最小值，求a的取值范围；(3)在(1)的条件下，当x＞0时，求证＋x2＞.(1)解f′(x)＝x－asinx，f′＝－a＝，∴a＝－1，经验证a＝－1符合题意.(2)解g(x)＝f′(x)＝x－asinx，则g′(x)＝1－acosx.①当a＝0时，f(x)＝x2，显然在x＝0时取得最小值，∴a＝0符合题意；②当a＞0时，(i)当≥1即0＜a≤1时，g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又g(0)＝0，∴当x＜0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在x＝0时取得最小值，∴当0＜a≤1时符合题意；(ii)当0＜＜1，即a＞1时，在(0，π)内存在唯一x0使g′(x)＝0，即cosx0＝.当x∈(0，x0)时， y＝cosx在(0，π)上单调递减，∴cosx＞cosx0＝，∴g′(x)＝a＜0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0，即f′(x)＜0，∴f(x)在(0，x0)上单调递减，∴当x∈(0，x0)时，f(x)＜f(0)，这与f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)≥f(0)矛盾，∴当a＞1时不合题意.综上，a的取值范围是[0，1].(3)证明由(1)知，a＝－1，此时g(x)＝x＋sinx，g′(x)＝1＋cosx，∴＝＝≥cos，∴若要证原不等式成立，只需证cos＋x2＞e成立.由(2)知，当a＝1时，f(x)≥f(0)恒成立，即x2＋cosx≥1恒成立，即cosx≥1－x2(当且仅当x＝0时取“＝”)，∴cos≥1－x2(...
