解答题滚动练81.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋＝2cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.解(1)根据倍角公式cos2x＝2cos2x－1，得2cos2A＋＝2cosA，即4cos2A－4cosA＋1＝0，所以(2cosA－1)2＝0，所以cosA＝，又因为0＜A＜π，所以A＝.(2)根据正弦定理＝＝，得b＝sinB，c＝sinC，所以l＝1＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)，因为A＝，所以B＋C＝，所以l＝1＋＝1＋2sin，因为0＜B＜，所以l∈(2，3].2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：贷款期限6个月12个月18个月24个月36个月频数2040201010以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元.解(1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是P1＝C×0.42×0.6＝0.288.(2)P(ξ＝200)＝0.2，P(ξ＝300)＝0.6，P(ξ＝400)＝0.2，所以ξ的分布列是ξ200300400P0.20.60.2E(ξ)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.所以估计2017年该市共要补贴1080万元.3.(2017·北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD.(1)若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；(3)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.(1)证明由已知得EF∥CD，且EF＝CD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以有BG∥CD.因为G是棱AB的中点，所以BG＝CD.所以EF∥BG，且EF＝BG，故四边形EFBG为平行四边形，所以EG∥FB.因为FB⊂平面BDF，EG⊄平面BDF，所以EG∥平面BDF.(2)解因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC.因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝DC，DE⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.在△ABD中，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，所以由余弦定理，得BD＝，所以AD⊥BD.在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1.如图，以D为原点，以DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，F，所以AE＝(－1，0，1)，DF＝，DB＝(0，，0).设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，由得取z＝1，则x＝2，y＝0，得n＝(2，0，1).设直线AE与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AE，n〉|＝＝，所以AE与平面BDF所成的角的正弦值为.(3)解线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD.理由如下：假设线段FC上存在点H，设H(0≤t≤1)，则DH＝，设平面HAD的法向量为m＝(a，b，c)，由得取c＝1，则a＝0，b＝－t，得m＝.要使平面BDF⊥平面HAD，只需m·n＝0，即2×0－t×0＋1×1＝0，此方程无解.所以线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD.4.已知函数f(x)＝alnx＋b(a，b∈R)，曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)＋≥1；(3)已知满足xlnx＝1的常数为k.令函数g(x)＝mex＋f(x)(其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…)，若x＝x0是g(x)的极值点，且g(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围.(1)解f(x)的导函数f′(x)＝，由曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0，知f′(1)＝1，f(1)＝0，所以a＝1，b＝0.(2)证明令u(x)＝f(x)＋－1＝lnx＋－1，则u′(x)＝－＝，当0＜x＜1时，u′(x)＜0，u(x)单调递减；当x＞1时，u′(x)＞0，u(x)单调递增，所以当x＝1时，u(x)取得极小值，也即最小值，该最小值为u(1)＝0，所以u(x)≥0，即不等式f(x)＋≥1成立.(3)解函数g(x)＝mex＋lnx(x＞0)，则g′(x)＝mex＋，当m≥0时，g′(x)＞0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)...
