专题21万有引力定律及其应用一、万有引力和重力的关系1．在地球表面上的物体地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图所示，万有引力为F，重力为G，向心力为Fn。当然，真实情况不会有这么大偏差。（1）物体在一般位置时Fn=mrω2，Fn、F、G不在一条直线上。（2）当物体在赤道上时，Fn达到最大值Fnmax，Fnmax=mRω2，重力达到最小值：2min2nGFFGRMmRm，重力加速度达到最小值，2nmin2FFgGRmMR。（3）当物体在两极时Fn=0，G=F，重力达到最大值2maxGGMmR，重力加速度达到最大值，max2gGMR。可见只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力，在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小。计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。即2mgGMmR或者写成GM=gR2，称为“黄金代换”。2．离开地球表面的物体卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受到的重力，2GGMmR重力，该处的重力加速度2()MRhgG。这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向心加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。（为什么？）二、天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即22222π()MmmvGmrmrmarTr。（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2RMmGmg（g表示天体表面的重力加速度）。（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：在行星表面重力加速度：2RMmGmg，所以2RMGg；在离地面高为h的轨道处重力加速度：2)(hRMmGgm，得2)(hRMGg。2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R由于2RMmGmg，故天体质量GgRM2；天体密度：34πMgVGR；（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r①由万有引力等于向心力，即222πMmGm()rrT，得出中心天体质量2324πrMGT；②若已知天体半径R，则天体的平均密度3233πMrVGTR；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度23πMVGT。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。3．估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等；（2）注意黄金代换式GM=gR2的应用；（3）注意密度公式23GT的理解和应用。三、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，222n224πMmvrGmammrmrrT。四、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律1．线速度v：由22MmvGmrr得GMvr，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。2．角速度ω：由22MmGmrr得3GMr，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。3．周期T：由222π()MmGmrrT得32πrTGM，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。4．向心加速度an：由n2MmGmar得n2GMar，可见，r越大，an越小；r越小，an越大。以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。2016年10月19日凌晨“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接。如图所示，已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。则下列各量不能求出的是A．地球的质量B．地球的平均密度C．组合体做圆周运动的线速度D．组合体受到地球的万有引力【参考答案】D【详细解析】组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度为t，根据万有引力提供组合体的向心力，则22MmGmrr，所以地球的质量为32323rrMGGt，可知能求出地球的质量M，故A能求出；不考虑地球的自转时，物体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则得2MmmgGR，解得GMRg，则可以求出地球的半径R，地球的密度为34...
