第59讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直夯实基础【p135】【学习目标】1．会找直线的方向向量和平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．2．能用向量法证明有关直线和平面关系的一些定理．【基础检测】1．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()A．s1＝(1，1，2)，s2＝(2，－1，0)B．s1＝(0，1，－1)，s2＝(2，0，0)C．s1＝(1，1，1)，s2＝(2，2，－2)D．s1＝(1，－1，1)，s2＝(－2，2，－2)【解析】两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．【答案】B2．设a＝(3，－2，－1)是直线l的方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的法向量，则()A．l⊥αB．l∥αC．l⊂α或l⊥αD．l∥α或l⊂α【解析】因为a·n＝3×1＋(－2)×2＋(－1)×(－1)＝0，所以a⊥n，即l∥α或l⊂α.故选D.【答案】D3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)B．n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1)C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)D．n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2)【答案】A4．给出下列命题：①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m平行；②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1.其中的真命题是______．(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】对于①， a＝(1，－1，2)，b＝，∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①不正确；对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③， n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④， 点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴AB＝(－1，1，1)，BC＝(－1，1，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即则u＋t＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是④.【答案】④【知识要点】1．直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量法证明空间中的平行与垂直关系平行垂直直线与直线(v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量)l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面(v为直线l的方向向量，n1为平面α的法向量)①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝0②l∥α⇔v＝xa＋yb，其中a，b为平面α内不共线的向l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)量，x，y均为实数平面与平面(n1，n2分别为平面α，β的法向量)α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0典例剖析【p136】考点1利用空间向量证明空间中的平行关系如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：(1)MN∥PAD；(2)平面QMN∥平面PAD；【解析】(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，p)，则C(b，d，0)，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以MN＝.因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以MN·m＝0，即MN⊥m.因为MN不在平面PAD内，故MN∥平面PAD.(2)QN＝(0，－d，0)，QN⊥m，又QN不在平面PAD内，故QN∥平面PAD.又因为MN∩QN＝N，所以平面MNQ∥平面PAD.【点评】(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．考点2利用空间向量...
