第24讲三角函数的图象与性质夯实基础【p50】【学习目标】1．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象；2．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性；3．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期；4．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．【基础检测】1．函数y＝－tan＋2的定义域为________．【答案】2．函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在和上都是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在和上是增函数，在上是减函数【答案】B3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y＝cosB．y＝sinC．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx【解析】对于选项A，因为y＝－sin2x，T＝＝π且图象关于原点对称．【答案】A4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是()A．－B.C．1D.【解析】由已知得f(x)的最小正周期为，则＝，所以ω＝2，f(x)＝tan2x，所以f＝tan＝.【答案】D5．使函数y＝cos2x＋3cosx＋取得最大值的x的集合为________．【解析】函数化为y＝－2，其中－1≤cosx≤1，当cosx＝1时，函数取得最大值，此时x＝2kπ，k∈Z.【答案】{x|x＝2kπ，k∈Z}【知识要点】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增为增对称中心(kπ，0)对称轴x＝kπ＋x＝kπ3.y＝Asinx＋b(x∈R)和y＝Acosx＋b(x∈R)的最大值为__|A|＋b__，最小值为__－|A|＋b__．典例剖析【p50】考点1三角函数的定义域和值域(1)函数y＝的定义域为________________．【解析】要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.【答案】(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．【解析】令t＝sinx， |x|≤，∴t∈.∴y＝－t2＋t＋1＝－＋，∴当t＝时，ymax＝；当t＝－时，ymin＝.∴函数y＝cos2x＋sinx的最大值为，最小值为.【点评】1.三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数．考点2三角函数的单调性、周期性写出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝sin，x∈[0，π]；(2)f(x)＝|tanx|；(3)f(x)＝cos，x∈.【解析】(1)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为.同理，单调递减区间为.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数．因此函数f(x)在上的单调递增区间是.同理，单调递减区间为，.【点评】求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【提醒】求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调区间．【解析】(1) x∈，∴≤2x＋≤π，∴－≤sin≤1，又 a>0，－5≤f(x)≤1，∴即(2)f(x)＝－4sin－1，f(x)的最小正周期T＝＝π.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z...
