第23讲三角函数的图象与性质夯实基础【p54】【学习目标】1．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象．2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解A、ω、φ的物理意义．3．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx图象间的变换关系．4．会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式．【基础检测】1．下列函数中，周期为π且为偶函数的是()A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sinD．y＝cos【解析】对于选项A，y＝－cos2x，周期为π且是偶函数，所以选项A正确；对于选项B，y＝sin2x，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；对于选项C，y＝cosx，周期为2π，所以选项C错误；对于选项D，y＝－sinx，周期为2π，所以选项D错误．故选A.【答案】A2．y＝3sin的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝【解析】由题意，－＝kπ＋，∴x＝2kπ＋(k∈Z)，∴y＝3sin的一条对称轴是x＝－，故选C.【答案】C3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象所示，则()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为－2，故A＝2，＝＋，故T＝π，ω＝2，故y＝2sin(2x＋φ)，将点代入可得：2sin＝2，则φ＝－满足要求，故y＝2sin，故选A.【答案】A4．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增()A.B.C.D.【解析】将函数y＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的，可得y＝sin，再往上平移1个单位，得函数y＝sin＋1的图象，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间为，故选A.【答案】A【知识要点】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，__(π，－1)__，，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}值域__[－1，1]____[－1，1]__R单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增最值当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1＝－1奇偶性__奇函数____偶函数____奇函数__对称中心(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)对称轴方程x＝＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π__2π____π__3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象其中相位变换中平移量为__|φ|__个单位，φ＞0时，向__左__移，φ＜0时，向__右__移；横向伸缩变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的____倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的__A__倍．4．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，__A__叫作振幅，T＝____叫作周期，f＝____叫作频率，__ωx＋φ__叫作相位，__φ__叫作初相．5．根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k取开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.典例剖析【p55】考点1画三角函数图象及图象变换已知函数y＝cos2x＋sin2x＋1，x∈R.(1)求它的振幅、周期和初相；(2)该函数的图象是由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？(3)用五点法作出它一个周期范围的简图．【解析】(1)因为函数y＝cos2x＋sin2x＋1，x∈R，所以y＝2sin＋1，它的振幅为A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.(2)①y＝sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sinx.②y＝2sinx的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝2sin2x.③y＝2sin2x沿x轴向左平移个单位，得到y＝2sin.④y＝2sin沿y轴向上平移1个单位，得到y＝2sin＋1.(3)...
