第26讲三角形中的三角函数考点集训【p199】A组1．在三角形ABC中，acosB＝bcosA，则三角形ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解析】由正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，所以sinAcosB－sinBcosA＝0，即sin(A－B)＝0，所以A＝B，所以三角形是等腰三角形．故选C.【答案】C2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝()A.B.C.D.【解析】 asinBcosC＋csinBcosA＝b，∴根据正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，即sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB. sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，即sinB＝. a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝.故选A.【答案】A3．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝，则c∶sinC等于()A．3∶1B.∶1C.∶1D．2∶1【解析】cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝2cos2B－3cosB＋1＝0，∴cosB＝或cosB＝1(舍)．∴B＝.∴＝＝＝2.故选D.【答案】D4．△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于()A.B.C.或D.或【解析】＝，∴sinC＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝，故选D.【答案】D5．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝__________．【解析】由题意及正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin＝sinA＝2sinB，所以＝＝2.【答案】26．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝__________．【解析】依题由正弦定理得：(sinB－sinC)·cosA＝sinA·cosC，即sinB·cosA＝sin(A＋C)＝sinB，∴cosA＝.【答案】7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA.(1)求的值；(2)若sinA＝，求sin的值．【解析】(1)由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA，即sin(A－B)＝0.因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，所以a＝b，即＝1.(2)因为sinA＝，且A为锐角，所以cosA＝.所以sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝，cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－.所以sin＝sinCcos－cosCsin＝.8．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘缉私艇奉命以10海里/小时的速度追截走私船，B在C的正东方向，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？【解析】如图，设需要t小时追上走私船． BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos120°＝6，∴BC＝，在△CBD中，∠CBD＝120°，又 ＝，即＝，解得sin∠DCB＝，∠DCB＝30°.答：沿北偏东60°方向追击．B组1．在△ABC中，已知A是三角形的内角，且sinA＋cosA＝，则△ABC一定是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．无法确定三角形的形状【解析】将sinA＋cosA＝>0左右两边同时平方得1＋2sinAcosA＝，解得2sinAcosA＝－<0，所以sinA>0，cosA<0，因此角A为钝角，三角形为钝角三角形，故选A.【答案】A2．在△ABC中，“＝”是“角A，B，C成等差数列”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中，＝⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2sinAsinC－2cosAcosC＝cos2A＋sin2A＝1⇒－2cos(A＋C)＝1⇒A＋C＝＝2B⇒角A、B、C成等差数列；当角A、B、C成等差数列⇒A＋C＝＝2B，角A有可能取，故＝不成立，故＝是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．故选B.【答案】B3．某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°，则C与D的距离为()A．20海里B．8海里C．32海里D．24海里【解析】如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在游轮的北偏东75°的方向上，距离为12海里，游轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，∴B＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理＝，∴AD＝＝＝24海里．在△ACD中，AD＝24，AC＝8，∠CAD＝30°，由余弦定理得...
