考点规范练23等差数列及其前n项和一、基础巩固1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.1082.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?()(注:尺是中国古代计量单位,1米=3尺)A.3B.4C.5D.63.已知在每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn√Sn-1-Sn-1√Sn=2√SnSn-1(n∈N*,且n≥2),则a81等于()A.638B.639C.640D.6414.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为()A.6B.7C.12D.135.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是()A.20B.36C.24D.726.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8=.7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,其前n项和为Sn.当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=.8.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项bn=Snn,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.二、能力提升9.已知函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)内单调,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为()A.-200B.-100C.-50D.010.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()A.5B.6C.7D.811.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2<0,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求{Snn}的前n项和Tn取得最小值时n的值.12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.三、高考预测13.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.考点规范练23等差数列及其前n项和1.B解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.C解析设第n天织布an尺,则数列{an}是等差数列,且S30=390,a30=21,∴S30=302(a1+a30),即390=15(a1+21),解得a1=5.故选C.3.C解析由已知Sn√Sn-1-Sn-1√Sn=2√SnSn-1,可得√Sn−√Sn-1=2,∴{√Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故√Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.C解析因为a1>0,a6a7<0,所以a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零.又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,所以S12>0,S13<0,所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.5.C解析由a2+S3=4及a3+S5=12,得{4a1+4d=4,6a1+12d=12,解得{a1=0,d=1,所以a4+S7=8a1+24d=24.故选C.6.0解析 {an}为等差数列,Sn为其前n项和,a2=2,S9=9,∴{a2=a1+d=2,S9=9a1+9×82d=9,解得d=-13,a1=73,∴a8=a1+7d=0.7.211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),∴数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+14×132×2=211.8.(1)解设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+k(k-1)2·d=2k+k(k-1)2×2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)证明由(1)得Sn=n(2+2n)2=n(n+1),则bn=Snn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2.9.B解析因为函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,函数f(x)在(-1,+∞)内单调,所以f(x)在(-∞,-1)内也单调,且数列{an}是公差不为0的等差数列.又f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100=100(a1+a100)2=50(a50+a51)=-100.10.C解析(方法一)由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.(方法二)由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.(方法三)由a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性...
