§5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.平面向量的平行与垂直1.平面向量平行与垂直的判断2.平面向量平行与垂直关系的应用B填空题解答题★★☆2.平面向量的综合应用1.与解三角形相结合2.与函数、不等式相结合B填空题解答题★★☆分析解读平面向量的平行与垂直是平面向量中的重要内容,一般与三角函数、解三角形等知识交汇考查.五年高考考点一平面向量的平行与垂直1.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案72.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.答案-63.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为.答案-54.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.答案-5.(2014湖北,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=.答案±3考点二平面向量的综合应用1.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;22.(2015福建改编,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于.答案133.(2013福建理改编,7,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为.答案54.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)解法一: ++=0,且++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二: ++=0,即(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2) =m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一平面向量的平行与垂直1.(2017江苏南京学情检测,6)设向量a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b.若a∥c,则实数x的值是.答案42.(2017江苏徐州沛县中学质检,11)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则16x+4y的最小值为.答案83.(2017江苏无锡期末,7)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),若a-b与ma+b垂直,则m的值为.答案4.(2018江苏淮安、宿迁高三(上)期中)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b),n=(sinB,-cosA),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)若|n|=,求cosC的值.解析(1) m⊥n,∴m·n=asinB-bcosA=0,∴sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,∴tanA=, A∈(0,π),∴A=.(2) |n|==,∴sin2B+=,解得sin2B=, B∈(0,π),∴sinB=,当B为锐角时,cosB==,cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=,当B为钝角时,cosB=-,cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=,综上,cosC的值为或.5.(2018江苏无锡高三期中)已知a=(-3,1),b=(1,-2),c=(1,1).(1)求a与b的夹角的大小;(2)若c∥(a+kb),求k的值.解析(1)设a与b的夹角为α,因为cosα===-,α∈[0,π],所以α=.即a与b的夹角为.(2)a+kb=(-3+k,1-2k).因为c∥(a+kb),所以1-2k+3-k=0,解得k=.考点二平面向量的综合应用6.(苏教必4,二,5,变式)在△ABC中,有如下命题,其中正确的是.①-=;②++=0;③若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形;④若·>0,则△ABC为锐角三角形.答案②③7.(苏教必4,二,5,变式)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则(·)min=.答案18.(苏教必4,二,5,变式)如图所示,点O为△ABC的外心,以OA、OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC、OD为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为H.(1)若=a,=b,=c,=h,用a、b、c表示h;(2)证明⊥;(3)若△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,外接圆的半径为R,用R表示|h|.解析(1)由向量加法的平行四边形法则可得=+=a+b,=+=c+a+b,∴h=a+b+c.(2)证明: 点O是△ABC的外心,∴||=||=||,即|a|=|b|=|c|.而=-=h-a=b+c,=-=b-c,∴·=(b+c)·(b-c)=|b|2-|c|2=0.∴⊥.(3)在△ABC中,O是外心,∠BAC=60°,∠ABC=45°,∴∠BOC=120°,∠AOC=90°.于是∠AOB=150°.|h|2=h·h=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=3R2+2|a||b|cos150°+2|a||c|cos90°+2|b||c|cos1...
