课时跟踪检测(二十六)平面向量的数量积及其应用一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.设x∈R,向量a=(1,x),b=(2,-4),且a∥b,则a·b=________.解析:因为a=(1,x),b=(2,-4)且a∥b,所以-4-2x=0,x=-2,所以a=(1,-2),a·b=10.答案:102.(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|=________.解析:因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a||b|cosa,b=8,所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.答案:43.(2017·盐城三模)已知向量a,b满足a=(4,-3),|b|=1,|a-b|=,则向量a,b的夹角为________.解析:设向量a,b的夹角为θ,由|a-b|=得,21=2=a2+b2-2a·b=25+1-2×5×cosθ,即cosθ=,所以向量a,b的夹角为.答案:4.已知a=(m+1,-3),b=(1,m-1),且(a+b)⊥(a-b),则m的值是________.解析:a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-2-m),因为(a+b)⊥(a-b),所以m(m+2)-(m-4)(m+2)=0,所以m=-2.答案:-25.(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠ABC=60°,则AB·AC=________.解析:由题意得AC=AB+AD,所以AB·AC=AB·(AB+AD)=AB2+AB·AD=4+2×1×cos120°=3.答案:36.(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC,BD=BC,AE=AC,AD与BE交于点P,则PB·PD的值为________.解析:如图,以D为原点,以BC为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0),D(0,0),A(0,3),E(1,2),P,所以PB·PD=|PD|2=2=.答案:二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·淮安调研)已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=________.解析:由已知得2a-b=(3,x),而(2a-b)·b=0⇒-3+x2=0⇒x2=3,所以|a|===2.答案:22.若单位向量e1,e2的夹角为,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=,则λ=________.解析:由题意可得e1·e2=,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×+λ2=,化简得λ2+λ+=0,解得λ=-.答案:-3.(2018·苏北四市期末)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则a与2a-b夹角的余弦值为________.解析:因为非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,所以a2=b2=a2+2a·b+b2,a·b=-a2=-b2,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=a2,|2a-b|===|a|,cos〈a,2a-b〉====.答案:4.(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中,P为矩形ABCD所在平面内一点,且满足PA=3,PC=4,矩形对角线AC=6,则PB·PD=________.解析:由题意可得PB·PD=(PA+AB)·(PA+AD)=PA2+PA·AD+AB·PA+AB·AD=9+PA·(AD+AB)+0=9+PA·AC=9+3×6×cos(π-∠PAC)=9-18×=9-18×=-.答案:-5.(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足AP=λAB,λ∈R,若BD·CP=-3,则λ=________.解析:法一:由题意可得BA·BC=2×2cos=2,BD·CP=(BA+BC)·(BP-BC)=(BA+BC)·[(AP-AB)-BC]=(BA+BC)·[(λ-1)·AB-BC]=(1-λ)BA2-BA·BC+(1-λ)BA·BC-BC2=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,所以λ=.法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),D(-1,).令P(x,0),由BD·CP=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3得x=1.因为AP=λAB,所以λ=.答案:6.(2018·苏北四市调研)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若AB·AD=-7,则BC·DC=________.解析:BC·DC=(OC-OB)·(OC-OD)=(OC+OD)·(OC-OD)=OC2-OD2,同理,AB·AD=AO2-OD2=-7,所以BC·DC=OC2-OD2=OC2-AO2-7=9.答案:97.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为________.解析:因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0,即(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3,则m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos〈m,n〉==.答案:8.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,AB=4AC,则OC·(OB-OA)=________.解析:由已知得|AB|=,|AC|=,则OC·(OB-OA)=(OA...