6个解答题专项强化练(二)空间中位置关系的证明1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝AA1.求证：(1)AC1∥平面BDE；(2)A1E⊥平面BDE.证明：(1)连结AC交BD于点O，连结OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，又EC＝AA1，所以EC＝CC1，即点E为CC1的中点，于是在△CAC1中，AC1∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，所以AC1∥平面BDE.(2)连结B1E.设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝a，BB1＝2a.所以BE2＋B1E2＝BB，所以B1E⊥BE.由ABCDA1B1C1D1为长方体，得A1B1⊥平面BB1C1C.因为BE⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥BE.因为B1E∩A1B1＝B1，B1E⊂平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，所以BE⊥平面A1B1E.又因为A1E⊂平面A1B1E,所以A1E⊥BE.同理A1E⊥DE.又因为BE∩DE＝E，BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以A1E⊥平面BDE.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：(1)MN∥平面PAB;(2)AM⊥平面PCD.证明：(1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC,又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为AP＝AD，M为PD的中点，所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.3.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.证明：(1)取PB的中点E，连结EA，EN，在△PBC中，EN∥BC且EN＝BC，由AM＝AD，AD∥BC，AD＝BC，得EN∥AM，EN＝AM.∴四边形ENMA是平行四边形，∴MN∥AE.又MN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)过点A作PM的垂线，垂足为H.∵平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH⊂平面PAD，∴AH⊥平面PMC，又CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM.∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴PA⊥CM.∵PA∩AH＝A，PA⊂平面PAD，AH⊂平面PAD，∴CM⊥平面PAD.∵AD⊂平面PAD，∴CM⊥AD.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．求证：(1)B1C1∥平面A1DE；(2)平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明：(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC,又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，又CC1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.5.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积V＝BD·DC·DE＝.6．由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1，因为ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EM∥AO.因为AO⊥BD，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
