6个解答题综合仿真练(二)1．已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈.(1)若a－b＝，求t的值；(2)若t＝1，且a·b＝1，求tan的值．解：(1)因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝，所以cosα－sinα＝，t＝sin2α.由cosα－sinα＝，得(cosα－sinα)2＝，即1－2sinαcosα＝，从而2sinαcosα＝.所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝.因为α∈，所以cosα＋sinα＝.所以sinα＝＝，从而t＝sin2α＝.(2)因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.因为α∈，所以cosα≠0，从而tanα＝.所以tan2α＝＝.从而tan＝＝＝.2.如图，四棱锥PABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点．求证：(1)AM∥平面PBC；(2)CD⊥PA.证明：(1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，故AB∥CM，且AB＝CM，所以四边形ABCM是平行四边形，所以AM∥BC.又BC⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，所以AM∥平面PBC.(2)连结PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，又AB⊥BC，所以平行四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM，又PM⊂平面PAM，AM⊂平面PAM，PM∩MA＝M，所以CD⊥平面PAM.又PA⊂平面PAM，所以CD⊥PA.3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c＝1，又e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－)－，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，整理得(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，又A(，0)，所以kAP＋kAQ＝＋＝，由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，故kAP＋kAQ＝＝＝1，所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3km，OB＝3km，∠AOB＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且∠MON＝30°.(1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．解：(1)在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°.在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝.在△OMN中，由＝，得MN＝×＝.(2)法一：设AM＝x,0＜x＜3.在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝.由＝，得ON＝·＝.所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3.令6－x＝t，则x＝6－t,3＜t＜6，则S△OMN＝＝≥·＝.当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为.所以M的位置为距离A点6－3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2.法二：设∠AOM＝θ，0＜θ＜，在△OAM中，由＝，得OM＝.在△OAN中，由＝，得ON＝＝.所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝＝＝＝，0＜θ＜.当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，S△OMN的最小值为.所以应设计∠AOM＝15°，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2.5．已知数列{ai}共有m(m≥3)项，该数列前i项和为Si，记ri＝2Si－Sm(i≤m，i∈N*).(1)当m＝10时，若数列{ai}的通项公式为ai＝2i＋1，求数列{ri}的通项公式；(2)若数列{ri}的通项公式为ri＝2i(i≤m，i∈N*)，①求数列{ai}的通项公式；②数列{ai}中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由．解：(1)因为Si＝·i＝i2＋2i,所以由题意得ri＝2Si－S10＝2i2＋4i－120(i≤10，i∈N*).(2)①因为ri＝2Si－Sm＝2i，ri＋1＝2Si＋1－Sm＝2i＋1，两式相减得ai＋1＝2i－1，所以数列{ai}从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列...
