微点突破三角函数、解三角形中的实际应用问题【例】(2013·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.由正弦定理=,得AB=·sinC=×=1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发tmin后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=·sinA=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形:一是实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;二是实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需要作出这些三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.【训练1】如图,现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在AB上取不同于A,B的点C,用渔网沿着AC(AC在扇形AOB的AB上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA=1km,∠AOB=,∠AOC=θ.(1)用θ表示CD的长度;(2)求所需渔网长度(即图中AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.解(1)由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ,得∠OCD=θ,∠ODC=,∠COD=-θ.在△OCD中,由正弦定理,得CD=sin,θ∈.(2)设渔网的长度为f(θ).由(1)可知,f(θ)=θ+1+sin,所以f′(θ)=1-cos,因为θ∈,所以-θ∈.令f′(θ)=0,得cos=,所以-θ=,即θ=.列表如下:θf′(θ)+0-f(θ)极大值且f(0)=2,f=,f=+1,所以f(θ)∈.故所需渔网长度的取值范围是(单位:km).【训练2】(2017·徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中∠ABC=∠BAD=90°,AD=DC=2km,BC=1km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分成面积相等的两部分.(1)如图1,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;(2)如图2,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度.解(1)因为AD=DC=2,BC=1,∠ABC=∠BAD=90°,所以AB=.如图1,取AB的中点G,连接EG,则EG=,则四边形BCEF的面积为S梯形ABCD=S梯形BCEG+S△EFG,即×××(1+2)=××+×GF×,解得GF=,所以EF===(km).答:灌溉水管EF的长度为km.(2)如图2,连接AC,设DE=a,DF=b,图2在△ABC中,CA==2,所以在△ADC中,AD=DC=CA=2,所以∠ADC=60°,所以△DEF的面积为S△DEF=absin60°=ab,又S梯形ABCD=××(1+2)=,所以S△DEF=S梯形ABCD,即ab=,即ab=3.在△DEF中,由余弦定理,得EF=≥=,当且仅当a=b=时,取等号.故灌溉水管EF的最短长度为km.答:灌溉水管EF的最短长度为km.