高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 微点突破 三角函数、解三角形中的实际应用问题试题 理-人教版高三数学试题VIP免费

微点突破三角函数、解三角形中的实际应用问题【例】(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝·sinC＝×＝1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理＝，得BC＝·sinA＝×＝500(m).乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.【训练1】如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着AC(AC在扇形AOB的AB上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA＝1km，∠AOB＝，∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.解(1)由CD∥OA，∠AOB＝，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝，∠COD＝－θ.在△OCD中，由正弦定理，得CD＝sin，θ∈.(2)设渔网的长度为f(θ).由(1)可知，f(θ)＝θ＋1＋sin，所以f′(θ)＝1－cos，因为θ∈，所以－θ∈.令f′(θ)＝0，得cos＝，所以－θ＝，即θ＝.列表如下：θf′(θ)＋0－f(θ)极大值且f(0)＝2，f＝，f＝＋1，所以f(θ)∈.故所需渔网长度的取值范围是(单位：km).【训练2】(2017·徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2km，BC＝1km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分.(1)如图1，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；(2)如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度.解(1)因为AD＝DC＝2，BC＝1，∠ABC＝∠BAD＝90°，所以AB＝.如图1，取AB的中点G，连接EG，则EG＝，则四边形BCEF的面积为S梯形ABCD＝S梯形BCEG＋S△EFG，即×××(1＋2)＝××＋×GF×，解得GF＝，所以EF＝＝＝(km).答：灌溉水管EF的长度为km.(2)如图2，连接AC，设DE＝a，DF＝b，图2在△ABC中，CA＝＝2，所以在△ADC中，AD＝DC＝CA＝2，所以∠ADC＝60°，所以△DEF的面积为S△DEF＝absin60°＝ab，又S梯形ABCD＝××(1＋2)＝，所以S△DEF＝S梯形ABCD，即ab＝，即ab＝3.在△DEF中，由余弦定理，得EF＝≥＝，当且仅当a＝b＝时，取等号.故灌溉水管EF的最短长度为km.答：灌溉水管EF的最短长度为km.