论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响作者：齐书康4080208123袁坤4080208331张丹4080208136单位：唐山学院信息工程系08电本邮编：0630002010年10月9日摘要实际工作中常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理，因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比ξ取值恰当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼。大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。本文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。关键词：自动控制二阶系统动态特性响应指标0.引言由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。1.二阶系统一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项决定的。二阶系统就是S的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。1.1二阶系统结构图由图可知二阶系统开环传递函数为：WK(s)=ωn2s(s+2ξωn)二阶系统闭环传递函数为：WB(s)=ωn2s2+2ξωns+ωn21.2二阶系统单位阶跃响应当输入为单位阶跃信号时Xr(s)=1s故Xc(s)=ωn2s(s2+2ξωns+ωn2)取拉氏逆变换有Xc(t)=1−e−ξωnt√1−ξ2sin(ωdt+θ)t≥0①其中ωd=√1−ξ2ωnθ=arctan√1−ξ2ξσ1.3二阶系统极点分布图1.4二阶系统动态特性1.4.1上升时间tr令①中t=trXc(t)=1则有e−ξωntr√1−ξ2sin(ωdtr+θ)=0得tr=π−θωd=π−θ√1−ξ2ωn②1.4.2峰值时间tm令①中dxc(t)dt=0则第一个峰值对应的时间tm=πωd=π√1−ξ2ωn③1.4.3最大超调量δ%由于δ%=Xcm−Xc(∞)Xc(∞)×100%且Xc(∞)=1得δ%=e−ξπ√1−ξ2×100%④1.4.4调节时间tsts(5%)=3ξωn0<ξ<0.8ts(2%)=4ξωn0<ξ<0.8⑤2.具有零点的二阶系统的动态分析2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数带零点的二阶系统结构图：具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：WB(s)=Xc(s)Xr(s)=wn2(τs+1)s2+2ξwns+wn2=wn2(s+1τ)1τ(s2+2ξwns+wn2)τ——时间常数令1τ=z，则上式可写为如下形式：Xc(s)Xr(s)=wn2(s+z)z(s2+2ξwns+wn2)⑥由式⑥可得，其系统的闭环传递函数具有零点-z，是具有零点的二阶系统将式⑥分解，由Xc1(s)=wn2Xr(s)s2+2ξwns+wn2得Xc(s)=Xc1+szXc1(s)2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应为求其阶跃响应，设Xr(s)=1s，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为xc1(t)=ℓ−1[wn2s(s2+2ξwns+wn2)]xc(t)=ℓ−1[szXc1(s)]+ℓ−1[Xc1(s)]=xc1(t)+1zdxc1(t)dt⑦求出⑦中两项然后相加即得输出量，经过运算得wn2(s+z)z(s2+2ξwns+wn2)Xr(s)Xc(s)Zl1Pnwθ-Zφjwσ图1复平面上的零点与极点分布xc(t)=1−e−ξwnt√1−ξ2lz[z−ζwnlsin(√1−ξ2wnt+θ)+√1−ξ2lwncos(√1−ξ2wnt+θ)]⑧上述式子中的l为极点与零点间的距离，在复平面上画出其位置（假设零点在极点左侧）：由图1可知：l=|z−p1|=√(z−ξwn)2+(wn√1−ξ2)2|z−ξwn|l=cosφwn√1−ξ2l=sinφ故式子⑧可以写成：xc(t)=1−e−ξwnt√1−ξ2lzsin(√1−ξ2wnt+φ+θ)⑨式子中：θ=arctan√1−ξ2ξφ=arctanwn√1−ξ2z−ξwnlz=√z2−2zξwn+wn2z2令r=ξwnz，则上式中的lz可以写为lz=1ξ√2−2rξ2+r2r代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点...
