专题限时集训(十一)高考中的三角函数(建议用时：45分钟)1．(2014·江苏高考)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．[解](1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.4分故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.6分(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，10分所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.14分2．(2016·苏锡常镇调研二)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cosB，cosC)，n＝(4a－b，c)，且m∥n.(1)求cosC的值；(2)若c＝，△ABC的面积S＝，求a，b的值．[解](1)∵m∥n，∴ccosB＝(4a－b)cosC，由正弦定理，得sinCcosB＝(4sinA－sinB)cosC，化简，得sin(B＋C)＝4sinAcosC．4分∵A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(B＋C)．又∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴cosC＝.6分(2)∵C∈(0，π)，cosC＝，∴sinC＝＝＝.10分∵S＝absinC＝，∴ab＝2.①∵c＝，由余弦定理得3＝a2＋b2－ab，12分∴a2＋b2＝4，②由①②，得a4－4a2＋4＝0，从而a2＝2，a＝±(舍负)，所以b＝，∴a＝b＝.14分3．(2016·南通二调)在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.(1)求C的值；(2)若A＝15°，AB＝，求△ABC的周长．[解](1)因为tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，2分因为在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0，所以tan(A＋B)＝＝1，4分即tan(180°－C)＝1，亦即tanC＝－1，因为0°＜C＜180°，所以C＝135°.6分(2)在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°，7分由正弦定理＝＝，得＝＝＝2，10分故BC＝2sin15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin45°cos30°－cos45°sin30°)＝，CA＝2sin30°＝1.12分所以△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝＋1＋＝.14分4．(2016·镇江期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝xrad，其中＜x＜π.图10－4(1)写出S(x)关于x的函数关系式；(2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？[解](1)由已知可得∠CBO＝x－，S扇形AOB＝lr＝2x，2分在△BCO中，由正弦定理可得：＝，所以CO＝2(sinx－cosx)，从而S△CBO＝BO·CO·sin∠BOC＝2sin2x－2sinxcosx，4分所以S(x)＝2sin2x－2sinxcosx＋2x＝2sinx(sinx－cosx)＋2x.6分(2)S′(x)＝2(sin2x－cos2x)＋2＝2sin＋2，7分由S′(x)＝0，解得x＝，令S′(x)＞0，解得＜x＜，所以增区间是；9分令S′(x)＜0，解得＜x＜π，所以减区间是；11分所以S(x)在x＝处取得最大值是2＋m2.13分答：设计成∠AOB＝时，该设施的平面图面积最大是2＋m2.14分5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝＋.(1)证明a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【导学号：19592034】[解](1)证明：由2(tanA＋tanB)＝＋得＝＋，3分∴2sinC＝sinA＋sinB，4分由正弦定理得a＋b＝2c.6分(2)由cosC＝＝＝－1≥－1＝－1＝.13分∴cosC的最小值为.14分6．如图10－5，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝45°.图10－5(1)求BC的长度；(2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α＋β最小？[解](1)作AE⊥CD，垂足E，则CE＝9，DE＝6，设BC＝x，2分则tan∠CAD＝tan(∠CAE＋∠DAE)＝＝＝1，4分化简得x2－15x－54＝0，解得x＝18或x＝－3(舍).6分(2)设BP＝t，则CP＝18－t(00，f(t)是增函数，10分所以，当t＝15－27时，f(t)取得最小值，即tan(α＋β)取得最小值，因为－t2＋18t－135<0恒成立，所以f(t)<0，所以tan(α＋β)<0，α＋β∈，12分因为y＝tanx在上是增函数，所以当t＝15－27时，α＋β取得最小值．答：当BP为(15－27)m时，α＋β取得最小值.14分
