课时达标检测(二十二）三角恒等变换[练基础小题——强化运算能力]1．[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________.解析：原式＝·sin80°＝·cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.答案：2．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是________．解析：由已知得cosα＝，sinα＝－，所以cos＝cosα＋sinα＝－.答案：－3．(2018·江苏宜兴三校联考)已知cos＝－，则sin的值为________．解析：因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝＝，从而求得sin的值为±.答案：±4．(2018·泰州调研)若cos＝，则sin的值是________．解析：sin＝sin＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－.答案：－5．已知sin＋sinα＝，则sin的值是________．解析：∵sin＋sinα＝，∴sincosα＋cossinα＋sinα＝，∴sinα＋cosα＝，即sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.答案：－[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知sin2α＝，则cos2＝________.解析：依题意得cos2＝cosαcos＋sinαsin2＝(cosα＋sinα)2＝(1＋sin2α)＝.答案：2．(2018·云南模拟)cos·cos·cos＝________.解析：原式＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.答案：－3．若tanα＝2tan，则＝________.解析：＝＝＝＝＝＝＝3.答案：34．(2018·启东中学月考)4cos50°－tan40°＝________.解析：原式＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝.答案：5．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为________．解析：由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tanB·tanC＝1－，所以tan(B＋C)＝＝－1.由已知，有tanA＝－tan(B＋C)，则tanA＝1，所以A＝.答案：6．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋·tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是________．解析：∵α为锐角，sinα－cosα＝，∴α＞.又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又α＞，∴β＜＜α.答案：α＞β7．(2018·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由⇒≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.解析：∵α∈，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝＞0，∴2α∈，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.答案：9．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.解析：由题意得tanα＋tanβ＝－3＜0，tanα·tanβ＝4＞0，∴tan(α＋β)＝＝，且tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈，故α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.答案：－10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝________.解析：∵0＜α＜，－＜β＜0，∴＜＋α＜，＜－＜，∴sin＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝.答案：二、解答题11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.12．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2＝－2sin，故f＝－2sin＝－2sin＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
