对勾函数讲解与例题解析VIP专享VIP免费

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+Error:Referencesourcenotfound的图象与性质(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+Error:Referencesourcenotfound（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点1a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，Error:Referencesourcenotfound。当x<0时，Error:Referencesourcenotfound。即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、关于求函数最小值的解法1.均值不等式，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”。当的时候，2.法若的最小值存在，则必需存在，即或（舍）找到使时，存在相应的即可。通过观察当的时候，3.单调性定义2yXOy=ax设当对于任意的，只有时，，此时单调递增；当对于任意的，只有时，，此时单调递减。当取到最小值，4.复合函数的单调性在单调递增，在单调递减；在单调递增又原函数在上单调递减；在上单调递增即当取到最小值，四、例题解析：例1、已知函数，练习：2.已知函数,求f(x)的最小值,并求此时的x值.33建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2和2a元/米2.底面一边长为x米,总造价为y.写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时总造价y最低,是多少?五、重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是：f(x)=ax+b/x(a>0)定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）值域为（-∞，-2√ab][2√ab,+∞∪）当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：设x10,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数⑶当00，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数⑷当根号a0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）