第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数锐角三角函数(第1课时)学习目标1.理解认识正弦概念;2.在直角三角形中求出某个锐角的正弦值.学习过程一、自主探究得到概念1.为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?这个问题可以归结为:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB的长.思考:(1)如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?如果使出水口的高度为am,那么需要准备多长的水管?答:(2)在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这角的对边与斜边的比值都等于.(3)直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是.(4)在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值?答:(5)推理与证明:观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3,它们之间有什么关系?你能得到(4)中的结论吗?解:2.结论:在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比是一个,也即是对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边的是唯一确定的.3.认识正弦如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,∠C=90°,我们把锐角A的的比叫做∠A的正弦,记作sinA.sinA=∠A的对边斜边=ac.4.追问:(1)∠B的正弦怎么表示?答:(2)在Rt△ABC中,若a=1,c=3,则sinA=sinB=.二、合作探究完成例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.【思路点拨】根据勾股定理,先求出AC的长,再运用正弦的定义计算即可.解:2.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,sinA=23,求AB的长.【思路点拨】根据正弦的定义可以得到BC与AB的比值,因而可以设BC=2x,则AB=3x,根据勾股定理即可求得x的值,进而得到AB的长度.解:三、课堂小结系统知识1.什么是正弦?答:2.根据你对正弦概念的理解,完成下列填空:(1)正弦是一个,没有单位.(2)正弦值只与的大小有关,与三角形的大小无关.(3)sinA是一个符号,不能写成sin·A.(4)当用字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.(5)sin2A表示,不能写成sinA2.四、当堂训练提升能力1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()A.不变B.缩小为原来的三分之一C.扩大为原来的3倍D.不能确定2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sinA的值是()A.43B.34C.35D.453.如图所示,已知P点的坐标是(a,b),则sinα等于()A.abB.baC.a❑√a2+b2D.b❑√a2+b24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为.第4题图第5题图5.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sinA=35且AB=15,则BC=.6.如图,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D.若AC=7,AB=4,求sinC的值.解:评价作业(满分100分)1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sinB的值为()A.12B.❑√22C.❑√32D.22.(8分)三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示,则sinα的值是()A.34B.43C.35D.453.(8分)在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,则BC等于()A.45B.5C.15D.1454.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=❑√5,BC=2,则sin∠ACD的值为()A.❑√53B.2❑√55C.❑√52D.235.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sinA=.6.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA=23,则AB=.7.(12分)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠BAC=,sin∠ADC=,sin∠ABC=.8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,求sinA和sinB的值.9.(10分)如图所示,菱形ABCD的周长为40cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=35.(1)求BE的长;(2)求菱形ABCD的面积.10.(20分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.参考答案学习过程一、1.自主探究得到概念思考:(1)答:100m2am.(2)12.(3)❑√22.(4)答:是一个固定值.(5)解: Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中,∠A是它们的公共角,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3,∴B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB3.2.固定值比值.3.对边与斜边4.追问:(1)答:sinB=∠B的对边斜边=bc.(2)132❑√23.二、合作探究完成例题1.解:如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=❑√AB2-BC2=❑√132-52=1...
