一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()．A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()．A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋13．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立时，起始值n至少应取为()．A．7B．8C．9D．104．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()．A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N＋)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N＋)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N＋)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N＋)5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()．A．B．C．D．6．设函数f(n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，当n∈N＋时，f(n)能被m(m∈N＋)整除，猜想m的最大值为()．A．9B．18C．27D．36二、填空题7．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，且n∈N＋)”，在验证n＝1时，左边计算所得的结果是__________．8．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N＋)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时等式左边的差等于__________．9．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立……猜想在n边形A1A2…An中，有不等式__________成立．三、解答题10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．11．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N＋)，并用数学归纳法证明你的结论．12．如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2，3，…，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(n∈N＋)的横坐标an关于n的表达式并证明．参考答案一、选择题1．C解析：左边表示从1开始，连续2n＋1个正整数的和，故n＝1时，表示1＋2＋3的和．2．C解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n＝k，末项为到n＝k＋1末项为＝，显然增加的项数为2k.3．B解析： 1＋＋＋…＋＝＝2－＝＝，而1＋＋＋…＋＞，故起始值n至少取8.4．B解析： n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N＋)．5．C解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.6．D解析：f(n＋1)－f(n)＝(2n＋11)·3n＋2－(2n＋9)·3n＋1＝4(n＋6)·3n＋1，当n＝1时，f(2)－f(1)＝4×7×9为最小值，据此可猜想D正确．二、填空题7．1＋a＋a2解析：首先观察等式两边的构成情况，它的左边是按a的升幂顺序排列的，共有n＋2项．因此当n＝1时，共有3项，应该是1＋a＋a2.8．3k＋2解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)＋(k＋1＋2)＋…＋(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋2k＋(2k＋1)＋(2k＋2)，所以其差为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.9．＋＋…＋≥三、解答题10．证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1＝k[4(k＋1)2－1]－k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1＝k[4(k＋1)2－1]＋(12k2＋12k＋3－8k2－4k)＝k[4(k＋1)2－1]＋[4(k＋1)2－1]＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n∈N＋，等式都成立．11．解：当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16，由此可以猜想，2n＋2＞n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边＞右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，左边＞右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，左边＞右边．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2＞k2....
