一、选择题1.用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是().A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+42.用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N+,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是().A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+13.用数学归纳法证明不等式1+++…+>成立时,起始值n至少应取为().A.7B.8C.9D.104.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是().A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中k∈N+)B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中k∈N+)C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N+)D.假设n≤k(k≥1)时正确,再推n=k+2时正确(其中k∈N+)5.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为().A.B.C.D.6.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n∈N+时,f(n)能被m(m∈N+)整除,猜想m的最大值为().A.9B.18C.27D.36二、填空题7.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,且n∈N+)”,在验证n=1时,左边计算所得的结果是__________.8.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=(n∈N+)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时等式左边的差等于__________.9.在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立……猜想在n边形A1A2…An中,有不等式__________成立.三、解答题10.用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1).11.试比较2n+2与n2的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论.12.如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点).(1)写出a1,a2,a3;(2)求出点An(an,0)(n∈N+)的横坐标an关于n的表达式并证明.参考答案一、选择题1.C解析:左边表示从1开始,连续2n+1个正整数的和,故n=1时,表示1+2+3的和.2.C解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为到n=k+1末项为=,显然增加的项数为2k.3.B解析: 1+++…+==2-==,而1+++…+>,故起始值n至少取8.4.B解析: n为正奇数,∴n=2k-1(k∈N+).5.C解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2==,a3==,a4==.猜想an=.6.D解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)·3n+2-(2n+9)·3n+1=4(n+6)·3n+1,当n=1时,f(2)-f(1)=4×7×9为最小值,据此可猜想D正确.二、填空题7.1+a+a2解析:首先观察等式两边的构成情况,它的左边是按a的升幂顺序排列的,共有n+2项.因此当n=1时,共有3项,应该是1+a+a2.8.3k+2解析:当n=k时,左边=(k+1)+(k+2)+…+(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)+(k+1+2)+…+(k+1+k+1)=(k+2)+(k+3)+…+2k+(2k+1)+(2k+2),所以其差为(2k+1)+(2k+2)-(k+1)=3k+2.9.++…+≥三、解答题10.证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=×1×(4-1)=1,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1).则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=k(4k2-1)+4k2+4k+1=k[4(k+1)2-1]-k·4(2k+1)+4k2+4k+1=k[4(k+1)2-1]+(12k2+12k+3-8k2-4k)=k[4(k+1)2-1]+[4(k+1)2-1]=(k+1)[4(k+1)2-1].即当n=k+1时等式也成立.由(1),(2)可知,对一切n∈N+,等式都成立.11.解:当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,左边>右边,所以原不等式成立.当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,左边>右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,左边>右边.(2)假设n=k(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,即2k+2>k2....