一、选择题1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()．A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e22．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()．A．＋＋＝0B．－＋＝0C．＋－＝0D．－－＝03．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对4．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()．A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝05．点P在△ABC内，并且+=4，设△ABC的面积是△PBC的面积的m倍，那么m=()．A．B．C．4D．26．(2012广东广州模拟)设I为△ABC的内心，AB＝AC＝5，BC＝6，＝m＋n，则m，n分别为()．A．，B．，C．，D．，二、填空题7．若＝8，＝5，则的取值范围为__________．8．已知＝a，＝b，＝λ，则＝________.9．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝__________.(用a，b表示)三、解答题10．如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．11．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.12．(2011山东菏泽期末考试)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.参考答案一、选择题1．C解析：如图所示，a－b＝AB＝e1－3e2.2．A解析：∵AD＝DB，∴AD＋BE＝DB＋BE＝DE＝FC，得AD＋BE＋CF＝0.3．C解析：由已知AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.∴AD∥BC，又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．4．A解析：PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，∴消去λ得x＋y＝2.5．B解析：设D为BC中点，则PB＋PC＝2PD＝4AP，所以＝.而＝＝，所以m＝.6．A解析：如图所示，连接CI延长交AB于点H，∴AI＝AH＋HI.∵I为内心，∴＝.∴AH＝AB.同理＝，∴HI＝(HB＋BC)．∴AI＝AB＋(HB＋BC)＝AB＋BC.∴m＝，n＝.故选A.二、填空题7．[3,13]解析：∵|BC|＝|AC－AB|，∴||AC|－|AB||≤|BC|≤|AC|＋|AB|.∴3≤|BC|≤13.8．a＋b解析：OP＝OP1＋P1P＝OP1＋P1P2＝OP1＋(OP2－OP1)＝a＋(b－a)＝a＋b.9．(b－a)解析：如图所示，连接BD，设BD与AC交于点O.由AN＝3NC可知N为OC的中点．又M是BC的中点，∴MN＝BO＝BD，∴MN＝(AD－AB)＝(b－a)．三、解答题10．解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝2e1＋e2，∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在λ，μ∈R，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2.故BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，∴∴∴AP＝AM，∴PM＝AM，即AP∶PM＝4∶1.11．解：取AE的三等分点M，使|AM|＝|AE|，连接DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.又|AE|＝|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AB＋(DA＋AC)＝AB＋＝AB＋AC＝a＋b.12．(1)解：∵GA＋GB＝2GM，又2GM＝－GO，∴GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0.(2)证明：显然OM＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG∥GQ，所以，有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.而PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b，GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
