一、选择题1．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于()．A．－2B．2C．D．－2．(2011浙江温州模拟)设a，b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝()．A．3B．C．2D．3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()．A．－B．－C．D．4．(2011重庆高考，文5)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()．A．1B．2C．3D．45．(2012广东深圳高级中学一模)如图，点P是△ABC的外心，且＝4，＝2，则·(－)＝()．A．2B．4C．6D．86．(2011四川高考，文12)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a＝(a，b)，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则＝()．A．B．C．D．二、填空题7．已知向量a＝(1,3)，b＝(－3，4)，则a在b方向上的投影为__________．8．在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c向量m＝(cosA，sinA)，n＝(－sinA，cosA)，若|m＋n|＝2，则角A等于__________．9．设O为坐标原点，点M(2,1)，点N(x，y)满足则的取值范围为__________．三、解答题10．已知平面向量a＝，b＝(－，－1)．(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k、t，使x＝a＋(t2－2)b，y＝－ka＋t2b，且x⊥y，试把k表示为t的函数．11．(2011湖南沅江模拟)已知向量m＝(sinB,1－cosB)，且与向量n＝(2,0)的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．(1)求角B的大小；(2)求sinA＋sinC的取值范围．12．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点．(1)＝－，求sin2θ的值；(2)若＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．参考答案一、选择题1．D解析：由(a＋λb)·b＝0，得a·b＋λ|b|2＝0得1＋2λ＝0，∴λ＝－.2．B解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×1×cos60°＋1＝3，∴|a＋b|＝.3．A解析：由题知P为△ABC的重心，则PB＋PC＝－PA.则PA·(PB＋PC)＝－PA2＝－|PA|2＝－.4．D解析：∵a＋b与a共线，∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．由解得故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.5．C解析：如图所示，作PD⊥AC于D，D为垂足，作PE⊥AB于E，E为垂足，则AP·AC＝|AP||AC|cos∠PAD＝|AD||AC|＝|AC|2＝8.同理，AP·AB＝|AB|2＝2，故AP·(AC－AB)＝8－2＝6，故选C.6．B解析：由已知条件，满足要求的向量分别为(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，故能构成的平行四边形数n＝15.由S平行四边形＝|x1y2－x2y1|可得，(2,1)，(4,1)两向量构成的平行四边形面积为S1＝|2×1－1×4|＝2，(2,1)，(4,3)两向量构成的平行四边形面积为S2＝|2×3－1×4|＝2，(2,3)，(4,5)两向量构成的平行四边形面积为S3＝|2×5－3×4|＝2.所以面积等于2的平行四边形的个数m＝3，故＝＝.二、填空题7．解析：a在b方向上的投影为＝＝.8．解析：m＋n＝(＋cosA－sinA，cosA＋sinA)|m＋n|＝＝∵|m＋n|＝2，∴sin＝0，又∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，∴A－＝0，A＝.9．[－3,15]解析：OM·ON＝2x＋y，令z＝2x＋y，作出可行域和z＝2x＋y的图像如图所示．由图可知，当N点坐标为(3,9)时，z取最大值且为15；当N点坐标为(－3,3)时，z取最小值且为－3.∴OM·ON的取值范围是[－3,15]．三、解答题10．(1)证明：a·b＝·(－，－1)＝×(－)＋×(－1)＝0，∴a⊥b.(2)解：∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0.展开得－ka2＋[t2－k(t2－2)]a·b＋t2(t2－2)b2＝0，∵a·b＝0，a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝4，∴－k＋4t2(t2－2)＝0.∴k＝f(t)＝4t2(t2－2)．11．解：(1)∵m＝(sinB,1－cosB)与向量n＝(2,0)所成夹角为.∴cos＝＝＝＝.解得cos＝，又0＜B＜π，∴0＜＜.∴＝，从而B＝.(2)由(1)可得A＋C＝.∴sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin.∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin≤1.即sinA＋sinC的取值范围为.12．解：(1)∵AC＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)，BC＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)，AC·BC＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－，∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2)∵OA＝(2,0)，OC＝(cosθ，sinθ)，∴OA＋OC＝(2＋cosθ，sinθ)，∴|OA＋OC|＝＝，即4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7，∴4cosθ＝2，即cosθ＝.∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，又∵OB＝(0,2)，OC＝，∴cos〈OB，OC〉＝＝＝－，∴〈OB，OC〉＝.
