专题限时集训(八)[第8讲平面向量及其应用](时间：45分钟)1．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝02．已知平面向量a＝(3，1)，b＝(x，3)，且a⊥b，则实数x的值为()A．9B．1C．－1D．－93．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于()A．－10B．－6C．0D．64．已知|a|＝2sin75°，|b|＝4cos75°，a与b的夹角为30°，则a·b的值为()A.B.C．2D.5．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.B.C.D．47．如图8－1，正六边形ABCDEF中，AF＋ED＋CB＝()图8－1A．0B.ADC.CFD.BE8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()A．－2B．－C．－1D．－9．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)A．外心、重心、垂心B．重心、外心、内心C．重心、外心、垂心D．外心、重心、内心10．a＝，cosx，b＝(sinx，1)，x∈，若a∥b，则a·b＝________．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC中的外心，则AO·BC的值为________．12．已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PA＋PB＋PC＝0，且AB＋AC＝mAP，那么实数m的值为________．13．设向量a＝(1，cos2θ)，b＝(2，1)，c＝(4sinθ，1)，d＝，其中θ∈.(1)求a·b－c·d的取值范围；(2)若函数f(x)＝|x－1|，比较f(a·b)与f(c·d)的大小．14．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．15．已知向量m＝sin，1，n＝cos，cos2.(1)若m·n＝1，求cosx＋的值；(2)设函数f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(A)的取值范围．专题限时集训(八)【基础演练】1．A[解析]a－b＋c－d＝BA＋DC＝0.故选A.2．C[解析]依题意，由a⊥b得a·b＝0，即3x＋3＝0，解得x＝－1.故选C.3．A[解析]由a∥b得2x＝－4，∴x＝－2，于是a·b＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A.4．B[解析]依题意，得a·b＝|a||b|cos30°＝2sin75°·4cos75°×＝2sin150°＝.故选B.【提升训练】5．C[解析]依题意a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝cos＝.故选C.6．C[解析]依题意，|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝.于是|a＋3b|＝＝＝＝.故选C.7．A[解析]连结AD，BE，CF交于点O，则点O为正六边形ABCDEF的中心．故AF＋ED＋CB＝AF＋(ED＋EF)＝AF＋EO＝0.故选A.8．C[解析]由于λa＋b＝λ(1，2)＋(2，0)＝(λ＋2，2λ)，而λa＋b与c共线，则有＝，解得λ＝－1.故选C.9．A[解析]由|OA|＝|OB|＝|OC|可知，点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O是三角形的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得点N在三角形各边的中线上，故点N是三角形的重心；由PA·PB＝PB·PC，得PB·(PA－PC)＝0，即PB·CA＝0，所以PB⊥CA；同理，PC⊥AB，PA⊥BC，故点P是三角形的垂心．10.[解析]因为a∥b，所以×1＝sinx·cosx，即sin2x＝1.又因为x∈，所以2x＝，即x＝.于是a·b＝sinx＋cosx＝sin＋cos＝×＋＝.11．8[解析]依题意得OA2＝OB2＝OC2，由于AC2＝(OC－OA)2＝OC2＋OA2－2OC·OA，所以OC·OA＝(OC2＋OA2－AC2)，同理OA·OB＝(OA2＋OB2－AB2)，所以AO·BC＝－OA·(OC－OB)＝－OA·OC＋OA·OB＝－(OA2＋OC2－AC2)＋(OA2＋OB2－AB2)＝(AC2－AB2)＝(52－32)＝8.12．3[解析]由于PA＋PB＋PC＝PA＋(PA＋AB)＋(PA＋AC)＝3PA＋AB＋AC＝3PA＋mAP＝0，那么m＝3.13．解：(1)a·b－c·d＝2＋cos2θ－2sin2θ－1＝2cos2θ.因为θ∈，所以2cos2θ∈(0，2)．(2)因为f(a·b)＝|cos2θ＋1|∈(1，2)，f(c·d)＝|2sin2θ|∈(0，1)，所以f(a·b)>f(c·d)．14．解：(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4、2.(2)...
