10.3二项式定理一、选择题1．二项式6的展开式中的常数项是()A．20B．－20C．160D．－160解析二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160.答案D2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()．A．6B．10C．12D．15解析Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.答案C3.(1－t)3dt的展开式中x的系数是()A．－1B．1C．－4D．4解析(1－t)3dt＝＝－＋，故这个展开式中x的系数是－＝1.答案B4．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()．A．28B．38C．1或38D．1或28解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案C5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()．A．－150B．150C．300D．－300解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案B6.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．252C．210D．45解析根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式2n的展开式的通项公式是Tr＋1＝C()10－r·r＝Cx5－－，根据题意5－－＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于C＝C＝210.正确选项为C.答案C7．在(x－)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于()．A．23008B．－23008C．23009D．－23009解析(x－)2006＝x2006＋Cx2005(－)＋Cx2004(－)2＋…＋(－)2006，由已知条件S＝－C()2006－C()2006－…－C()2006＝－22005·21003＝－23008.答案B二、填空题8．(1＋x)3(1＋)3的展开式中的系数是________．解析利用二项式定理得(1＋x)33的展开式的各项为Cxr·Cx－n＝CCxr－n，令r－n＝－1，故可得展开式中含项的是＋＋＝，即(1＋x)33的展开式中的系数是15.答案159．设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________.解析x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C＝20.答案2010．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.答案36411．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.解析n展开式中的通项为Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n＝5.答案n＝512．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________.解析由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.答案－三、解答题13．若n的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x的整数次幂的项．解析令x＝1，则22n＝1024，∴n＝5.Tr＋1＝C(3x)5－rr＝C·35－r·，含x的整数次幂即使为整数，r＝0、r＝2、r＝4，有3项，即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1.14．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……解析(1)C＝C＋C(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5由＝，得＝即3n－7r＋3＝0①由＝，得＝即4n－9r－5＝0②解①②联立方程组得n＝62，r＝27即C∶C∶C＝3∶4∶5.15．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．解析等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式为bk＝2k，令3n－1＝2k，n∈N*，k∈N*，即n＝＝＝，当k＝2m－1时，m∈N*，n＝∈N*，Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．16．已知f(x)＝.(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞.证明(1)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)．设x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝＝，由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)当n∈N*且n≥3，要证f(n)＞，即＞，只须证2n＞2n＋1，∵2n＝C＋C＋C＋…＋C＞C＋C＋C＝2n＋1.∴f(n)＞.
