几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题知识点截长补短辅助线的运用、旋转的性质,相似三角形的性质与判定;相似三角形的综合;教学目标熟练掌握线段和差问题的证明方法;教学重点能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系;教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题;知识讲解考点1旋转变换旋转变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体绕一固定点旋转一个定角,这样的图形变换叫做图形的旋转变换,简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转,旋转前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等,即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上;旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫做旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角。特别地,中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形是中心对称图形。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识,是中考数学的必考内容。考点2两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中,证明两条线段相等的情况较多,有时也出现证明两条线段的倍数关系,如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中,可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等,也可以证明两个三角形全等,根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时,利用构造基本图形模型证明,具体情况如下:1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b;2.利用等腰三角形证明a=b;3.利用含30°角的直角三角形证明a=b等;考点3两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中,关键是如何证明,方法如下:1.在证明垂直关系时,由垂直定义,即两条线段相交,所夹的角是90°,一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明;2.在证明两条线段平行时,大多是根据平行线的判定方法进行证明即可;总之证明位置关系,需要根据图形的性质,利用三角形全等进行证明,有时利用相似。在解答时,根据具体的题目条件,分解出基本图形,灵活掌握并选择方法证明。考点4三条线段之间的数量关系当要探究三条线段a、b、c之间的数量关系时,解题步骤为:1.将其中的两条线段的和(差)转化为另一条线段d的长,即通过证明三角形全等得出两条线段相等,三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系;2.在特殊三角形中找到d与另一条线段之间的关系,当这两条线段在同一个特殊三角形中,通过特殊三角形的性质,得出这两条线段之间的数量关系;当变化后两条线段在同一四边形中,可以证明四边形为特殊四边形,通过特殊四边形的性质,得出这两条线段之间的数量关系;3.结合1.2结论,直接写出三条线段之间的数量关系。例题精析考点一线段和差问题例1在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.例2如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2.(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF-EF=AF;(3)请你在图3中画图探究:当P为线段EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF垂直直线DP,垂足为点F,连接AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论.考点二旋转相关问题例3如图(1),在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.(1)若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及的值.(2)将图(1)中的菱形BEFG绕...