题型练7大题专项(五)解析几何综合问题题型练第61页1.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.解:设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由{y=32x+t,y2=3x,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由⃗AP=3⃗PB可得y1=-3y2.由{y=32x+t,y2=3x,可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=√1+(32)2×(3-13)=4√133.2.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为√510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为(23a,13b),又kOM=√510,从而b2a=√510,进而得a=√5b,c=√a2-b2=2b,故e=ca=2√55.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x√5b+yb=1,点N的坐标为(√52b,-12b).设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x1,72),则线段NS的中点T的坐标为√54b+x12,-14b+74.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有{√54b+x12√5b+-14b+74b=1,72+12bx1-√52b=√5,解得b=3.所以a=3√5,故椭圆E的方程为x245+y29=1.3.设椭圆x2a2+y23=1(a>√3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.解:(1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组{x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有⃗FH=(-1,yH),⃗BF=(9-4k24k2+3,12k4k2+3).由BF⊥HF,得⃗BF·⃗FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组{y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化简得xM≥1,即20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-√64或k≥√64.所以,直线l的斜率的取值范围为(-∞,-√64]∪[√64,+∞).4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,⃗QM=λ⃗QO,⃗QN=μ⃗QO,求证:1λ+1μ为定值.(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由{y2=4x,y=kx+1,得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或00)上的一点,抛物线E在点M处的切线方程为y=x-1.(1)求E的方程.(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1,l2的斜率之积为1,且直线l1,l2分别交抛物线E于A,B两点和C,D两点.是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)(方法一)由{y=x-1,x2=2py消y,得x2-2px+2p=0.由题意得Δ=4p2-8p=0.因为p>0,所以p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(方法二)设P(x0,x022p).由x2=2py,得y=x22p,y'=xp.由{x0p=1,x022p=x0-1,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)假设存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立,则λ=1|AB|+1|CD|.由题意知,l1,l2的斜率存在且均不为零.设l1的方程为y=kx+1(k≠0),则由{y=kx+1,x2=4y,消去y得,x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-4.所以|AB|=√1+k2√(x1+x2)2-4x1x2=√1+k2·√16k2+16=4(1+k2).所以λ=1|AB|+1|CD|=14(1+k2)+14(1+1k2)=1+k24(1+k2)=14.所以,存在常数λ=14,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立.
