第122页共18页kkkk+r2k+r(n-1)k+rrk(k为抽取间隔)编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第122页共18页第6章系统抽样§6.1引言6.1.1定义定义6.1/6.2系统抽样（systematicsampling）又称为等距抽样、机械抽样。按照这种抽样方法，从总体中抽取第一个样本点（随机起点），然后按某种固定的顺序和规律依次抽取其余的样本点，最终构成样本。这种抽样被称为系统抽样是因为这种抽样的第一个样本点虽然随机，但其余样本点的抽取看起来好像不再随机，因而是系统的。“牵一发而动全身”。比如要对居民用户抽样，可按户口册每隔多少户抽一户；工厂为检查产品质量，在连续的生产线上每隔20分钟抽选一个或若干个样品进行检查；农业上为估计农作物产量或病虫危害，对一大片农田每隔一定距离抽取一块进行实际测量或调查，等等。本章只作简单方法介绍。更多内容参见文献2、文献3。6.1.2系统抽样的一般方法定义6.3直线等距抽样假设总体单元数为N，样本容量为n，N为n的整数倍。把总体单元排列成一直线。先计算出系统抽样间隔k=Nn，（当N不是n的整数倍时，可令k等于最接近的整数）。然后在第一阶段1～k个单元中随机抽取一个单元，假设为r，然后每隔k个单元抽取一个单元，即分别为：r+k，r+2k，…….，直至抽取了n个单元。抽取的样本编号为：r+(j-1)k(j=1，2，…，n)。12…r……kk+1k+2…k+r……2k2k+12k+2…2k+r……3k…………………例如某学院有200个学生，要抽取10个学生作为样本。首先计算k=Nn＝20，然后在1～20中随机抽取一个数字，假设抽中排列中第3位的学生，则其它入样单元依次为23，43，63，83，103，123，143，163，183。定义6.4圆形等距抽样（Lahiri）这种方法主要适用于k=Nn不为整数时。因为当k不为整数，取其最接近的第123页共18页第122页共18页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第123页共18页整数时，实际样本容量可能与n相差1，而且每个单元入样的概率不等，这时用直线等距抽样可能产生偏倚。例：设总体N＝10，其标志值分别为，总体均值为。若要求样本容量为n＝3，采用直线等距抽样，验证样本均值是否为总体均值的无偏估计？解：先计算间距k=Nn＝10/3＝3.33….，取k＝3，在1～3中取一个随机起点，然后每隔3个单元抽取1个单元可得下列的可能样本：三个可能的系统抽样样本均值分别为：，，所有＝，因此样本均值不是总体均值的无偏估计。在这种情况下，样本均值将不等于总体均值，因而估计不是无偏的。为了使得样本均值是总体均值无偏估计，将N个总体单元排成首尾相接的一个圆。抽样间距k取最接近Nn的整数，从1——N中随机抽取一个随机起点作为起始单元，然后每隔k个抽取一个，直到抽取n个为止。如果序号大于N时，将其减去N得到的在1——N中的号码入选。正是因为排列为圆形而非直线且随机起点在1～N中而非在1～[k](或[k]+1)中，导致了该抽样下的每个样本严格等概率地被抽中，因而估计是无偏的。第124页共18页第123页共18页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第124页共18页若是圆形等距抽样，则在1～10中抽取一个随机起点，假设为7，然后每隔3个单元取一个，它们的序号是7、10、13。事实上是、、入样。考虑到实际问题中，n通常比较大（大于等与50），多一个少一个并无关宏旨，因此可以不必考虑N/n不是整数的影响，故通常我们都假定N是n的整数倍。3不等概率抽样法不等概率抽样中每个单元入样的概率不相等。最简单也是最常用的是πPS系统抽样，即入样的概率πi与单元规模大小Mi成比例的系统抽样。令M0=∑1NMi表示所有单元规模大小总和，则πi=nMiM0（包含概率，见不放回不等概率抽样）。在实际中，不等概率的实施常采用代码法。如下所示：先将单元规模Mi（不失一般性，设其为整数）值累加，欲从总体中抽取容量为n的样本，取最接近M0n的整数k为抽样间距，从[1，k]中随机抽取一个整数r作为起点，则代码r，r+k，…，r+(n-1)k所对应的单元入样。例7.1设总体由10个行政村组成，N＝10，每个行政村人数为Mi，见表7.1。利用πPS系统抽样抽取n＝3个行政村样本。表7.1用πPS系统抽样抽取行政村行政村编号人数Mi累计人数...
