第16练三角函数的化简与求值[题型分析·高考展望]三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－B.C．－D.答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.2．(2015·重庆)若tanα＝2tan，则等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析＝＝＝＝＝＝3.3．(2016·四川)cos2－sin2＝________.答案解析由题可知，cos2－sin2＝cos＝.4．(2016·课标全国甲)若cos＝，则sin2α等于()A.B.C．－D．－答案D解析因为sin2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin2α＝2×－1＝－，故选D.5．(2016·课标全国丙)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于()A.B.C．1D.答案A解析tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号．例1已知tanα＝2，求：(1)的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．解(1)方法一 tanα＝2，∴cosα≠0，∴＝＝＝＝.方法二由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得＝＝＝.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝＝＝＝.点评本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式．对于这样的多项式一“定可以化成切函数，分式可以分子分母同除cosα”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α“代换1”，变成分式后再化简．变式训练1已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.解由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.题型二利用诱导公式化简与求值1“”．六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即函数名不变，符号看象限；一类是异名“”变换，即函数名称变，符号看象限．2．诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2(1)设f(α)＝，则f＝________.(2)化简：＋＝________.答案(1)(2)0解析(1) f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.(2)原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．变式训练2(1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin＝________.答案(1)－(2)0解析(1)将θ－转化为(θ＋)－.由题意知sin(θ＋)＝，θ是第四象限角，所以cos(θ＋)＞0，所以cos(θ＋)＝＝.tan(θ－)＝tan(θ＋－)＝－tan[－(θ＋)]＝－＝－＝－＝－.(2)cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及“”的角，其手法通常是配凑．(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手“”“”法通常有切化弦升幂与降幂等．(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近“”“”“”“某个公式或某个期待的目标，其手法通常有常值代换逆用变用公式通分与约分分解”“”与组合配方与平方等．例3化简：(1)sin50°(1＋tan10°)；(2).解(1)sin50°(1＋tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝＝cos2x.点评(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用．(2)“”“”“”重视三角函数的三变：三变是指变角、变名、变式．变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形．变式训练3(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值...
