第14练空间点、线、面的位置关系[明晰考情]1.命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系.2.题目难度：中档难度.考点一空间线面位置关系的判断方法技巧(1)判定两直线异面的方法①反证法；②利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断.(3)空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论①平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；②平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理.1.已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线答案D解析在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行.2.下列说法正确的是()A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线答案D解析A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D.3.(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.4.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为________.答案垂直解析连接BO， AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AO⊥B1C.又侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，又AO∩BO＝O，AO，BO⊂平面ABO，∴B1C⊥平面ABO. AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB.考点二空间角的求解方法技巧(1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置.(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影.5.(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故选C.6.已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小为()A.90°B.45°C.60°D.30°答案D解析设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线.由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，∴sin∠GEF＝＝，又∠GEF为锐角，∴∠GEF＝30°.∴EF与CD所成的角的大小为30°.7.已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.B.C.D.答案B解析连接AE，BD，过点F作FH⊥BD交BD于H，连接EH，则FH⊥平面BDD1B1，∴∠FEH是直线EF和平面BDD1B1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， E，F分别是棱BB1，AD的中点，∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FD...
