专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(2019河北衡水同卷联考,理21)已知函数f(x)=x2eax-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)略.2.(2019湖北八校联考二,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx.(1)函数f(x)在(1,f(1))点的切线l方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;(2)略.3.(2019山东淄博一模,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)略.4.(2019新疆乌鲁木齐二模,理21)已知函数f(x)=ex+xtx-1(其中e是自然对数的底数).(1)当t=0时,求f(x)的最值;(2)若t≠0时,f(x)在1t,+∞上的最小值为1,求实数t的取值范围.5.(2019湖北八校联考一,文21)已知函数f(x)=x3+32x2-4ax+1(a∈R).(1)若函数f(x)有两个极值点,且都小于0,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=a(a-1)lnx-x3+3x+f(x),求函数h(x)的单调区间.6.已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(3)已知1.4142<❑√2<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).7.(2019安徽江淮十校联考一,文21)已知函数f(x)=ax2+xlnx(a为常数,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.71828…).(1)若函数f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2e+2)x-e2-e,k∈Z且k
1都成立,求k的最大值.参考答案专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(1)解函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2xeax+x2·aeax=x(ax+2)eax.当a=0时,f(x)=x2-1,则f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,在区间(-∞,0)内为减函数;当a>0时,f'(x)=axx+2aeax,令f'(x)>0得x<-2a或x>0,令f'(x)<0得-2a0得0-2a或x<0,所以f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间0,-2a内为增函数,在区间-2a,+∞内为减函数.2.解(1)函数f(x)=lnx+ax2+bx的导数为f'(x)=1x+2ax+b,在(1,f(1))点的切线斜率为k=1+2a+b,由题意可得1+2a+b=-2,且a+b=-2,可得a=b=-1,f(x)=lnx-x2-x的导数为f'(x)=1x-2x-1=-2x2-x+1x=-2x2+x-1x.由f'(x)=0,可得x=12(-1舍去),当00,f(x)递增;当x>12时,f'(x)<0,f(x)递减,可得x=12处,f(x)取得极大值,且为最大值-ln2-34.3.解(1)f'(x)=-(ax+1)(x-2)ex.①当a>0时,f'(x)=-a(x+1a)(x-2)ex.令f'(x)=0,解得x1=-1a,x2=2,且x10.所以f(x)的单调递增区间是-1a,2,单调递减区间是-∞,-1a和(2,+∞).②当a=0时,f'(x)=-x-2ex,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,2),单调递减区间是(2,+∞).③当-120;当x∈2,-1a时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,2)和-1a,+∞,单调递减区间是2,-1a.④当a=-12时,f'(x)=(x-2)22ex≥0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).⑤当a<-12时,令f'(x)=0,解得x1=-1a,x2=2,且x10;当x∈-1a,2时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递减区间是-1a,2,单调递增区间是-∞,-1a和(2,+∞).4.解(1)当t=0时,f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,解得x>0,函数f(x)在(0,+∞)是增函数;令f'(x)<0,解得x<0,函数f(x)在(-∞,0)是减函数;所以f(x)有最小值,无最大值,且f(x)min=f(0)=1.(2)当t>0时,由x>1t,所以tx-1>0,f(x)=ex+xtx-1=ex+1t+1t(tx-1)>ex+1t>1+1t>1,不符合题意;当t<0时,f'(x)=ex-1(tx-1)2=ex(tx-1)2[(tx-1)2-e-x].令g(x)=(tx-1)2-e-xx>1t,易知y=(tx-1)2,y=-e-x在1t,+∞上均为增函数,所以g(x)=(tx-1)2-e-xx>1t在1t,+∞上也为增函数,且g(0)=0,当1t0时,f'(x)>0,所以f(x)min=f(0)=1,符合题意.故实数t的取值范围为(-∞,0).5.解(1)由f(x)有两个极值点且都小于0,得f'(x)=3x2+3x-4a=0有两个不相等的负实根,∴{Δ=9+48a>0,x1+x2=-1<0,x1x2=-43a>0,解得-3160,则h'(x)=a(a-1)x+3x-(4a-3)=1x(3x-a)[x-(a-1)].令(3x-a)[x-(a-1)]=0,得x=a3或x=a-1,令a3=a-1,得a=32.①当{a3≤0,a-1≤0,即a≤0时,在(0,+∞)上h'(x)>0恒成立;②当{0
