第8练正弦定理、余弦定理及应用[明晰考情]1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b等于()A.B.C.2D.3答案D解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.2.(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A.4B.C.D.2答案A解析 cos＝，∴cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝＝4.故选A.3.(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.答案解析方法一由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C).又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.又 B∈(0，π)，∴B＝.方法二在△ABC中，由余弦定理，得acosC＋ccosA＝a·＋c·＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0＜B＜π，∴B＝.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，则C＝________.答案解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA，sinA－cosA＝，b，c>0，2sin＝＝＋≥2，当且仅当b＝c时，等号成立，因此b＝c，A－＝，所以A＝，所以C＝＝.考点二与三角形的面积有关的问题要点重组三角形的面积公式(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径).5.(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于()A.B.C.D.答案C解析 S＝absinC＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.又 C∈(0，π)，∴C＝.6.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于()A.5B.C.2D.1答案B解析 S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝.7.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.答案解析 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝.由余弦定理得cosA＝＝＝＞0，∴cosA＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsinA＝××＝.8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.答案8解析 cosA＝－，＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.考点三解三角形中的最值(范围)问题方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.9.在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，则△ABC的面积的最大值为()A.B.C.D.3答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， AC·AB＝|AC－AB|＝3，即bccosA＝3，a＝3，∴cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0＜sinA≤，∴0＜tanA≤.∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，故△ABC面积的最大值为.10.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝a2，则的最大值为()A.－1B.C.＋1D.＋2答案C解析根据题意，有S△ABC＝a2＝bcsinA，即a2＝...
