【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第22讲平面向量中的两个定理考纲要求:1．了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．基础知识回顾:1.向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算，运算法则：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ的与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0运算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；λ(＋)＝λ＋λ2.共线向量定理向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果12,ee�是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使2211eea.其中，不共线的向量12,ee�叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对),(yx叫做向量的坐标，记作＝),(yx，其中叫在x轴上的坐标，y叫在y轴上的坐标．②设OAxiyj�，则向量OA�的坐标),(yx就是终点A的坐标，即若(,)OAxy�，则A点坐标为),(yx，反之亦成立．(O是坐标原点)应用举例:类型一、共线向量定理的应用【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】设两个非零向量与b不共线，(1)若AB�＝＋，BC�＝2＋8，CD�＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k同向．【答案】见解析；k＝1.【例2】【2017河北正定一中高三月考】如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE�＝AD�，AB�＝，AC�＝(1)用，b表示向量AD�，AE�，AF�，BE�，BF�；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】见解析【解析】(1)延长AD到G，使AD�＝AG�，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG�＝＋，则有AD�＝AG�＝(＋)，AE�＝AD�＝(＋)，AF�＝AC�＝，BE�＝AE�－AB�＝(＋)－＝(b－2)，BF�＝AF�－AB�＝－＝(b－2)．(2)证明：由(1)可知BE�＝BF�，又因为BE�，BF�有公共点B，所以B，E，F三点共线．点评：共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB�＝λAC�，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．类型二、平面向量基本定理的应用【例3】【2017湖南衡阳八中月考】如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1【答案】D【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】如图，以向量OA�＝，OB�＝为邻边作▱OADB，BM�＝BC�，CN�＝CD�，用，表示OM�，ON�，MN�.【答案】见解析【例5】【2017湖北省襄阳市第四中学高三月考】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG�＝λPQ�，将OG�用λ，OP�，OQ�表示；(2)设OP�＝xOA�，OQ�＝yOB�，证明：＋是定值．【答案】见解析【解析】(1)OG�＝OP�＋PG�＝OP�＋λPQ�＝OP�＋λ(OQ�－OP�)＝(1－λ)OP�＋λOQ�.(2)证明：一方面，由(1)，得OG�＝(1－λ)OP�＋λOQ�＝(1－λ)xOA�＋λyOB�；①另一方面， G是△OAB的重心，∴OG�＝OM�＝×(OA�＋OB�)＝OA�＋OB�.②而OA�，OB�不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．方法、规律归纳:1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2.用向量基本定理解...
