函数的对称性与周期性奇偶性导数关系 VIP免费

1函数的周期性与对称性（奇偶性）一.概念1、周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kTx)(ba,x)()(kTxfxfxf2、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA②成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy③成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF“横纵坐标和为常数，平均数为中心”。（2）轴对称：①点(,)(2,)x=AxyBaxya与关于对称；()(2)x=yfxyfaxa函数与关于对称；,)0(2,)0x=FxyFaxya函数（与关于对称。“横纵坐标和为常数，平均数为中心”。“横纵坐标和为常数，纵坐标相等，横纵坐标平均数为对称轴”。（同理可得关于y=b对称）②对称轴方程为：0CByAx。))(2,)(2(),(),(2222//BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关于直线成轴对称；0CByAx函数))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线0CByAx成轴对称。0))(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。互为反函数)(xfy与函数1()yfx图象关于直线yx对称3.奇偶（特殊的对称）函数：（1）设baabxbaxxfy,,,),(或2①若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf②若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。（2）分段函数的奇偶性g()xa,b()±g()x-b-axfxx，二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称3、(),axbdafxcxdcc中心为4、三次函数中心为（x0，f``(x0)）5、(y)0(yc,xc)fxf，与关于直线y=x+c对称；（二）函数的对称性与周期性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝－f(x)②f(x＋a)＝±1/f(x))2、函数的对称性与周期性①若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|②若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|③若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|“和为常数必为对称，差为常数必为周期；两次对称必为周期，规律参照正弦函数”三、函数周期性的几个重要结论1、()()fxTfx(0T))(xfy的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、()()fxafxb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT236、1()(b)fxafx)(xfy的周期为2a-bT7、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT38、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT29、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT410、()b()()mmfxfxacfx)(xfy的周期为2Ta11、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT612、若.2,)2()(,0pTppxfpxfp则13、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT214、)(xfy有两个对称中心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy周期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT415、)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,(b()ba()fx的)(4abT