高中数学学习材料金戈铁骑整理制作专题16不等式选讲高频考点一绝对值不等式的解法及其应用例1、不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．(2)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.①画出函数y＝f(x)的图象；②若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．(2)①f(x)＝2x－3x≥2，11＜x＜2，3－2xx≤1.其图象如图所示．②由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)．又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f(x)，即2≥|x－1|＋|x－2|.解得12≤x≤52.即x的取值范围为12，52.【规律方法】零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．高频考点二不等式的证明例2.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并确定a、b、c为何值时，等号成立．【方法规律】1．证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法．2．不等式证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、数形结合法等．换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法．存在性、惟一性等问题或题目中带有“至少有一个”、“至多有一个”、“不能都”等字样的问题，都可以用反证法．高频考点三不等式的应用例3、设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．点评：a≤f(x)，当x∈R时恒成立，只需a≤f(x)min；a＞f(x)，当x∈R时恒成立，只需a＞f(x)max.高频考点四柯西不等式的应用例4、已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．1．不等式的基本性质(1)对于任意两个实数a，b有且只有以下三种情况之一成立：a>b⇔a－b>0，a
b⇔bb，b>c⇒a>c.加(减)：a>b⇒a＋c>b＋c.乘(除)：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0⇒an>bn>0(n∈N*，n≥2)．开方：a>b>0⇒na>nb>0(n∈N*，n≥2)．2．基本不等式(1)如果a，b都是正数，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时取等号．同时，我们称a＋b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)已知x，y都是正数，①如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；②如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S24.3．绝对值不等式(1)设a，b为实数，则加法性质：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.(3)若a>0，且|x|>a，则x>a或x<－a；若a>0，且|x|
