2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第5节数列的综合应用考点数列与其他知识的交汇1．（2012福建，4分）数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2012＝________.解析：∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6…，，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2012＝503×6＝3018.答案：30182．（2013安徽，13分）设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.解：本题主要考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和计算等基础知识和基本技能，并考查逻辑推理能力和运算求解能力．(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx．对任意n∈N*，f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，Sn＝b1＋b2…＋＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.3．(2010安徽，13分)设C1，C2…，，Cn…，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切．对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切．以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．(1)证明：{rn}为等比数列；(2)设r1＝1，求数列{}的前n项和．解：(1)证明：将直线y＝x的倾斜角记为θ，则有tanθ＝，sinθ＝.设Cn的圆心坐标为(λn,0)则由题意知＝，得λn＝2rn；同理λn＋1＝2rn＋1，从而λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1＝2rn＋1，将λn＝2rn代入，解得rn＋1＝3rn.故{rn}为公比q＝3的等比数列．(2)由于r1＝1，q＝3，故rn＝3n－1，从而＝n·31－n，记Sn…＝＋＋＋，则有Sn＝1＋2×3－1＋3×3－2…＋＋n×31－n，＝1×3－1＋2×3－2…＋＋(n－1)×31－n＋n×3－n.两式相减得＝1＋3－1＋3－2…＋＋31－n－n·3－n＝－n·3－n＝－(n＋)·3－n.∴Sn＝－(n＋)·31－n＝.
