一元二次方程根的判别式（一）判别式定理及其逆定理定理1方程有两个不相等的实数根；定理2方程有两个相等的实数根；定理3方程没有实数根；定理4方程有两个实数根。一元二次方程根的判别式的应用举例1.不解方程，判断方程根的情况。解题步骤：先算出判别式Δ的值，再作出结论。例1不解方程，判断下列关于x的方程根的情况。⑴⑵⑶⑷特别提醒：应用判别式，必须先将一元二次方程化为一般形式。目的是为了正确的确定的值。例2讨论关于x的方程(m－1)x2＋2mx＋(m－2)＝0的根的情况．练习：讨论关于的方程的根的情况。2.根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围。解题步骤：根据题意，利用判别式定理的逆定理得到相应的方程或不等式，再解方程或不等式得到待定系数的值或取值范围。例3取何值时，关于的方程①⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？⑷有两个实数根？⑸第1页共12页有实数根。特别提醒：若能确认方程是一元二次方程则隐含二次项系数的条件，解题时不能遗漏，若不能确认是一元二次方程则要分类讨论。注意方程有两个实数根和有实根的区别。例4已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根．例5若关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋(a2＋4a－5)＝0有实数根，试求正整数a的值．例6已知两个关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋(m＋5)＝0，①(m－5)x2－2(m＋2)x＋m＝0．②求：使方程①没有实数根且方程②有两个不相等的实数根的m的取值范围．课堂练习1．关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是________．第2页共12页3．若方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0有两个不同的正整数根，则整数k的值是．4．若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b2＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0（）．(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)根的情况不确定5．已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0．m取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程没有实数根？6．k取什么值时，方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。7．已知关于x的方程x2＋x＋2k－1＝0有实数根，求k的取值范围。8．若关于的方程有两个实数根，求的取值范围，9．关于的方程有两个实数根，求的取值范围。10．关于的方程有实数根，求的取值范围。一元二次方程根的判别式（二）3．证明含字母系数的一元二次方程有、无实数根（有理根）。解题步骤：先求出判别式Δ的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，使之符号明朗化，再根据Δ的符号性质，得出相应结论。第3页共12页例1求证：关于的方程有两个不相等的实数根。例2已知是三角形的三边，求证：关于的方程没有实数根。例3求证：无论k取何有理数，关于x的方程x2-2kx+4(k-1)=0都有有理数根.特别提醒：恒等变形时经常需要配方或因式分解。4．利用判别式判定三角形形状例4a，b，c是三角形的三边长，若方程组只有一组解，则这个三角形一定是________三角形．练习：已知方程3x2＋2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是一个三角形的三条边，求证：这个三角形是等边三角形．5．利用判别式作几何计算例5已知Rt△ABC的两直角边是方程的两实根，试求这个直角三角形的周长．课堂练习1．对于k＜9的一切实数，关于x的方程(k－5)x2－2(k－3)x＋k＝0（）．(A)没有实数根(B)有两个相等的实数根第4页共12页(C)有两个不相等的实数根(D)不能肯定实数根的个数2．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）．(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)不等边三角形(D)直角三角形3．m为何值时，关于x的方程(m2－1)x2＋2(m＋1)x＋1＝0有实数根．4．求证：关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根。5．求证：关于的方程有两个不相等的实数根。一元二次方程的根与系数的关系（一）(一)一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及其推论）1．如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么2．简化的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．我们把二...
