解析式未给定函数变形方法种种涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难，对同学的基本数学素质要求较高，除了要掌握函数的基本性质之外，还要掌握一定的代数变形方法。本文精选几例给同学们阅读，以期提高同学们的阅读、概括能力，掌握这类问题的解决方法。【例1】函数对任意、R，都有，并且当时，。（1）求证：是R上的增函数；（2）若，解不等式。解：设、∈R，且，则，∴。。即，∴是R上的增函数。（2），∴。不等式即为，∵是R上的增函数，于是，解之得。【例3】已知定义在R上的函数对任意、R都有成立，且方程有最小正根c存在。求证：（1），且是偶函数；（2），且是周期函数；（3），即是有界函数。证明：（1）在条件式中令，得解得或。若，在条件式中令，得，∴，∴方程的解是任意实数，与“有最小正根”矛盾，∴。在条件式中令，可得，∴。∴是偶函数。（2）∵，∴又∵，而，∴是周期函数。（3）假设存在R，有成立，则∴………（*）但是，∴，与（*）式矛盾.。∴对任意R，，即是有界函数。【例4】函数的定义域为R，且对任意，R，有，且当时，。（1）证明：是奇函数；（2）证明：在R上是减函数；（3）求在区间上的最大值和最小值。（1）证明：由，得，∴。又，∴，从而有，∴，∴是奇函数。（2）证明：任取，R，且，则，∵，∴，∴，∴，即，从而在R上是减函数。（3）解：由于在R上是减函数，故在上的最大值是，最小值是。由于，∴，。从而最大值是6，最小值是。【例5】设函数定义在R上，对任意实数，，恒有，且当时，。（1）求证：，且当时，；（2）求证：在R上递减；（3）设集合，，若，求的取值范围。（1）证明：在中，令，，得，∵，∴。设，则，令，，代入条件式有，而，∴。（2）证明：设，则，∴。令，，则代入条件式，得，即，∴，∴在R上单调递减。（3）解：由，又由（2）知为R上的递减，∴点集表示圆的内部。由得点集表示直线。∵，∴直线与圆相离或相切。于是。【例6】已知函数对任意实数，都有，。（1）若为自然数，试求的表达式；（2）满足条件的所有整数能否构成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列，若不能构成等差数列，请说明理由；（3）若为自然数，且时，恒成立，求的最大值。解：（1）∵，∴，∴∴。当为自然数时，的解析式为，。（2）当时，，当时，在中，令，知，得，当时，，由，得，综上所述，当时，。∵，∴，∴，，。∵，∴，，成等差数列，此数列为，，，或，，。（3）当时，，由恒成立知，∴，∵，∴。∴恒成立，∴。∴的最大值是3。
