高三数学高考考查导数的五大热点问题VIP免费

高考考查导数的五大热点问题马兴奎云南省文山州砚山一中，663100导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。本文以2008年高考试题为例，谈谈高考考查导数的热点问题，供鉴赏。一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。【例1】（2008年，全国I卷）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．【分析及解】（Ⅰ） ，导函数是二次函数，开口向上，，下面讨论方程根的情况。分，，来讨论。①：，即，或时，方程有两个不同实根，，当或时，，当时，，∴在，上为增函数，在上为减函数。②，即时，则对所有都有，故此时在上为增函数③，即时，则对所有且都有，故此时在上为增函数用心爱心专心综上知：当时，在上为增函数，当，或时，在，上为增函数，在上为减函数。（Ⅱ）本问把函数思想与数形结合思想结合起来，可获得简单的解法，即若函数在区间内是减函数，则说明对任意恒成立，转化为一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，结合二次函数图象，只需两根在区间外即可，即只需即解之得满足条件，所以实数的取值范围是．二、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，极值点、最值等问题，这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题。解决极值，极值点问题转化为研究函数的单调性；参数的取值范围转化为解不等式的问题；有时需要借助于方程的理论来解决。从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想。【例2】（2008年，陕西卷）已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（Ⅰ）求函数的另一个极值点；（Ⅱ）求函数的极大值M和极小值m，并求时k的取值范围.【分析及解】（I） 是函数的一个极值点，∴即得 ∴由此可知，，即，由此方程的一个根为，另一个根由韦达定理容易计算为或∴函数的另一个极值点为（或）（II）由（I）知，现画一个函数图帮助理解， 且，则图象如图所示，∴或，①当，即时，当或时，当时，上是增函数，在上是减函数，用心爱心专心Ock21∴，又，∴，即，解之得满足。②当，即时，当或时，当时，∴上是减函数，在上是增函数，∴，又，∴，即，解之得或，结合，∴综上可知，所求k的取值范围为三、、函数，导数，方程，不等式综合在一起，利用导数的几何意义，解决求函数的解析式、参数值、极值、切线方程，单调性及切线方程有关的问题，此类问题求单调性的过程就是解一元二次不等式和高次不等式的问题。从而达到考查化归与转化的数学思想。【例3】（2008年，重庆卷）设函数曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点处的切线垂直于y轴.（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间.【分析及解】（Ⅰ）由已知，即 ，依题意，即，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得故当时，取得最小值－.此时有从而，，所以，令，解之得，当或时，，从而在，上为减函数，当时，，从而在上为增函数，由此可见，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为四、函数，导数，方程，...